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1、单倒置摆控制系统的状态空间设计摘要倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题。该系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，对倒置摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题。对单倒置摆的分析，首先运用牛顿运动定律建立倒立摆系统的运动方程，以小车的位移，速度，摆杆与y轴正方向的夹角及摆角变化的速度作为四个状态变量，进而求出系统的状态空间描述，建立数学模型。通过对单倒置摆的能控性和能观性的计算及相关配置，首先设计了全维状态观测器；另外考虑小车位移可直接测量，以提高系统精度，本文还设计了降维状态观测器，对状态变量进行了重构。整个设计中对系统的分析，对全维状态观测器的响应，对降维状态观测器的响应
2、都用MATLAB仿真了结果并作出相关分析。关键词单倒置摆 状态分析 全维状态观测器 降维状态观测器 仿真1.引言倒立摆是日常生活中许多重心在上、支点在下的控制问题的抽象模型, 本身是一种自然不稳定体, 它在控制过程中能有效地反映控制中许多抽象而关键的问题,如系统的非线性、可控性、鲁棒性等问题。对倒立摆系统的控制就是使小车以及摆杆尽快地达到预期的平衡位置, 而且还要使它们不会有太强的振荡幅度、速度以及角速度, 当倒立摆系统达到期望位置后, 系统能克服一定范围的扰动而保持平衡。作为一种控制装置, 它具有形象直观、结构简单、便于模拟实现多种不同控制方法的特点, 作为一个被控对象它是一个高阶次、非线性
3、、多变量、强耦合、不稳定的快速系统, 只有采取行之有效的方法才能使它的稳定效果明了, 因此对倒立摆的研究也成为控制理论中经久不衰的研究课题。2.立题背景倒立摆系统是非常典型的自动控制、机械电子等领域的检测模型,从工程应用上讲，卫星的姿态控制、机器人的关节运动控制、飞行器和起重机械的稳钩装置等都和倒立摆模型有相似之处。所以，对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景和实际意义。目前，倒立摆主要应用在以下几个方面: (1) 机器人的站立与行走类似于双倒立摆系统。尽管第一台机器人在美国问世至今已有三十年的历史，机器人的关键技术-机器人的行走控制至今仍未能很好解决。(2)在火箭等飞行器的飞行过程中，为了
4、保持其正确的姿态，要不断进行实时控制。(3)通信卫星在预先计算好的轨道和确定的位置上运行的同时，要保持其稳定的姿态，使卫星天线一直指向地球，使它的太阳能电池板一直指向太阳。(4)侦察卫星中摄像机的轻微抖动会对摄像的图像质量产生很大的影响，为了提高摄像的质量，必须能自动地保持伺服云台的稳定，消除震动。(5)为防止单级火箭在拐弯时断裂而诞生的柔性火箭(多级火箭)，其飞行姿态的控制。2.1控制对象的特点及难点单倒置摆不仅仅是一种优秀的教学实验仪器，同时也是进行控制理论研究的理想实验平台。单倒置摆的种类不仅有简单的单机倒立摆，而且有多种形式的倒置装置，能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等
5、许多控制中的关键问题，是检验各种控制理论的理想模型。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉；作为一个被控对象，它又相当复杂，就其本身而言，是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法方能使之稳定。对单倒置摆的稳定控制是该系统的难点。但单倒置摆提供了一个从理论通往实践的桥梁，目前，对单倒置摆的研究已经引起国内外学者的广泛关注，是控制领域研究的热门课题之一。2.2目前国内外设计方案对于倒立摆的建模及控制器设计等方面的研究,许多学者做了大量的工作：Kouda , Henders 和Graichen 对应用非线性观测器代替线
6、性观测器进行仿真实验；王伟等研究了模糊控制在倒立摆系统中的应用；张涛等在双足机器人设计中应用线性二次型调节器(LQR) 理论对倒立摆进行控制并用Matlab 进行仿真，同时仿真结果证明LQR模糊控制器有很好的稳定性和鲁棒性；敖银辉等进行了柔性连接倒立摆的最优控制与仿真研究。目前，各类文献主要围绕单倒置摆的控制算法展开研究，如基于李亚普诺夫函数的控制器，基于模糊控制的控制器，利用遗传算法进化权值的神经网络控制器，模糊神经网络控制器等，此外还有文献从系统能量的角度出发进行控制研究。以上研究大多采用力作为系统输入进行建模,并通过仿真进行算法验证。本文在理论分析与系统仿真的基础上,忽略工程中的一些次要
7、因素，如系统动摩擦。通过对其能控性和稳定性的分析，进而提出全维观测器和降为观测器两种不同的设计方案。3.系统模型3.1单倒置摆系统的原理图如图所示，为单倒置摆系统的原理图。设摆的长度为、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。3.2倒置摆的状态空间方程为简化问题，工程上可以忽略一些次要因素。在此设计中，为了简化问题，方便研究系统空
8、间的设计问题，忽略了摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。设小车的瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为，则摆心瞬时位置为。在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u平衡，则有 即 (1)由于绕摆旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有 即 （2） 式（1）、式（2）两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u的条件下，可以认为、均接近于零，此时，,且可以忽略项，于是有 （3）+ = （4）连联立求解式（3）、式（4），可得 （5） （6） 消去中间变量，可得输入量为
9、u、输出量为z的微分方程为 （7）综合上述的分析，可抽象出系统的研究对象为：位移z、小车的速度、摆的角速度及其角速度的。系统的研究对象抽象成这四个变量后，接下来就可以根据前面的方程为这四个变量建立空间状态方程，并分析被控对象的特性。3.3单倒置摆的状态空间模型再上一步中，我们已经选取了四个研究对象作为状态变量，它们分别为：位移z、小车的速度、摆的角速度及其角速度的。Z为输出变量，在考虑，以及式（5）、（6）、（7），可列出倒置摆的状态空间模型表达式为： （8a） (8b) 式中 为方便研究，假定系统的参数 M=4kg,m=0.2kg,l=1m,则系统状态方程中参数矩阵为： ,， （9）此时倒置
10、摆的状态空间模型表达式为： 4.系统特性分析在建立完模型后我们需要对模型进行分析。作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原直立位置，这取决于其能控性。因此我们首先分析它的能控性。4.1能控性分析通过秩判据判断能控性，将式（9）的有关数据带入该判据，可得 （10）因此，单倒置摆的运动状态是可控的。换句话说，这意味着总存在一控制作用u,将非零状态转移到零。 建立工程liu1.m的仿真如下： 对系统能控性的仿真结果截图如下： 仿真结果分析：因为系统的秩等于系统的维数，因此说明系统是能控的，秩判据的结果与仿真结果相符。4.2稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求的其特征
11、方程为： （11） 用MATLAB计算系统的特征值如下：建立工程liu2.m的仿真代码如下：求系统特征值的仿真结果截图：仿真结果分析：解得特征值为0,0，3.2078，-3.2078。四个特征值中存在一个正根，两个零根，还有一个负根，这说明单倒置摆系统，即被控系统不稳定的。并且该系统不稳定性可以通过对x变量的单位阶跃响应曲线验证系统的不可控。验证系统不稳定性:采用MATLAB对被控对象进行仿真，如下图所示为倒摆没有添加任何控制器下四个变量的单位阶跃响应。建立工程liu3.m的仿真代码如下：仿真结果如下：仿真结果分析：如图可知，阶跃响应下的z、及响应都趋于无穷，而且既有正无穷还有负无穷。说明系统
12、不稳定，不能到达控制目的。通过对系统模型进行分析，可知被控系统是具有能控性的，但是被控系统是不稳定的。因此需对被控系统进行反馈综合，使四个特征值全部位于根平面S左半平面的适当位置，以满足系统的稳定工作已达到良好、静态性能的要求。本文设计了两种控制器方案来使系统到达控制的目的。分别为：全维状态观测器的设计和降维观测器的设计。4.3单倒置摆系统的综合 采用全状态反馈。取状态变量z、为反馈信号，状态控制规律为 （12） 设 式中，分别为z、反馈至参考输入v的增益。则闭环控制系统的状态方程为 设置期望闭环极点为-1，-1，-1+i,-1-i建立工程为liu4.m仿真代码如下： 仿真k值结果如下：即可认
13、为：=-0.82，=-2.45，=-69.98，=-18.45仿真阶跃响应下的z、响应结果如下：仿真结果分析：阶跃响应下的z、及 响应经一段时间后都趋于一个稳定的值，并且到达稳定的时间短，波动小。说明系统经反馈设计后不仅稳定，还能到达控制的目的。4.4单倒置摆状态反馈系统如上分析可得单倒置摆的状态反馈系统不仅稳定而且可控，因此建立工程为liuxubin1.mdl的状态反馈系统结构图如下：相应的仿真图形如下：Scope结果如下： Scope1结果如下： Scope2结果如下： Scope3结果如下： 仿真分析：如仿真图可知，单倒置摆的全状态反馈为稳定的闭环系统。单位阶跃的作用下，输出变量逐渐趋于某一常数，状态变量则是逐渐趋于0。当参考输入v单位阶跃时，状态向量在单位阶跃的作用下相应逐渐趋于稳定，这时摆杆回到原始位置（即=0），小车也保持稳定（即z=某一常数）。如果不将4个状态变量全用作反馈，该系统则不能稳定。 本文设计了两方案，分别是：全维观测器的设计、全维观测器的设计。5.设计方案5.1方案一：全维观测器的设计为实现
