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1、最新资料最新资料最新资料最新资料最新资料章末分层突破自我校对i21ac，bdabiZ(a，b)ac(bd)i(ac)(bd)i复数的概念及分类1.复数abi(a，bR)2.复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可.当实数a为何值时，za22a(a23a2)i：(1)为实数；(2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)对应的点在直线xy0上.【精彩点拨】解答本题可根据复数的分类标准，列出方程(不等式)求解.【规范解答】(1)由zR，得a23a20，解得a1或a2.(2)z为纯虚数，即故a0.
2、(3)z对应的点在第一象限，则a2.a的取值范围是(，0)(2，).(4)依题得(a22a)(a23a2)0，a2.再练一题1.当实数m为何值时，复数z(m22m)i为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数. 【解】(1)当即m2时，复数z是实数.(2)当m22m0，即m0且m2时，复数z是虚数.(3)当即m3时，复数z是纯虚数.复数的四则运算复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.计算：.【精彩点拨】先由ii，1i(2)，将原式化简，再利用i的特殊性进行求解.【规范解答】原式i121111678i.再练一题2.计算：(
3、1)；(2).【解】(1)原式(4)1i.(2)原式iii0.共轭复数与复数的模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模的计算公式解题外，也常用下列结论简化解题过程：(1)|z|1z.(2)zRzz.(3)z0，z为纯虚数zz.设zabi(a，bR)，若R，则a，b应满足什么条件？并说明理由.【精彩点拨】解答本题可求出的代数形式，由其虚部为0可得a，b满足的条件；也可利用共轭复数的性质求解.【规范解答】法一：R，b(a2b21)0.b0或a2b21.法二：R，即z(1z2)(1z2)0，z|z|2|z|2z0，即(z)(1|z|2)0，z或1|z|2
4、0.由z，得b0.由1|z|20，得a2b21.b0或a2b21. 再练一题3.已知为纯虚数，且(z1)(1)|z|2，求复数z. 【解】由(z1)(1)|z|2z1.由为纯虚数0z10.设zabi(a，bR)，则abi，代入，得a，a2b21.a，b.zi.复数的几何意义1.点Z(a，b)或向量称为复数zabi(a，bR)的几何表示，因此复平面的点与复平面的向量是复数的两个几何形象.2.复数形式的基本轨迹(1)当|zz1|r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位圆|z|1.(2)当|zz1|zz2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线.(3
5、)|z1z2|表示两点间的距离，即表示复数z1与z2对应点间的距离.若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是()A.2 B.3C.4D.5【精彩点拨】常规方法是运用复数的代数形式，把复数最值问题转化为一般函数最值问题再解决，而运用|zz0|的几何意义解决更为简便.【规范解答】如图，|z22i|1表示以C(2，2)为圆心，1为半径的圆，则|z22i|的最小值是指点A(2，2)到圆的最短距离，显然|AB|AC|13，即为最小值，故选B.【答案】B再练一题4.(2016杭州高二检测)已知|z|2，则|z1i|的最大值和最小值分别为_.【解析】设zxyi(x，yR)，则由|z|2知x2y24
6、，故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z1i|表示点(x，y)到点(1，)的距离.又因为点(1，)在圆x2y24上，所以圆上的点到点(1，)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z1i|的最大值和最小值分别为4和0.【答案】4，01.(2016全国卷)若z43i，则()A.1B.1C.iD.i【解析】z43i，43i，|z|5，i.【答案】D2.(2016全国卷)设复数z满足zi3i，则z()A.12iB.12iC.32iD.32i【解析】由zi3i得z32i，z32i，故选C.【答案】C3.(2016全国卷)设(12i)(ai)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a()A.3
7、B.2C.2D.3【解析】(12i)(ai)a2(12a)i，由题意知a212a，解得a3，故选A.【答案】A4.(2015陕西高考)设复数z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，则yx的概率为()A.B.C.D. 【解析】|z|1，即(x1)2y21，表示的是圆及其内部，如图所示.当|z|1时，yx表示的是图中阴影部分，其面积为S1211.又圆的面积为，根据几何概型公式得概率P.【答案】D5.(2015江苏高考)设复数z满足z234i(i是虚数单位)，则z的模为_.【解析】z234i，|z2|z|2|34i|5，|z|.【答案】章末综合测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间120分钟，满分1
8、50分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.(2015福建高考)若(1i)(23i)abi(a，bR，i是虚数单位)，则a，b的值分别等于()A.3，2B.3，2C.3，3D.1，4【解析】(1i)(23i)32iabi，所以a3，b2.【答案】A2.(2015广东高考)若复数zi(32i)(i是虚数单位)，则z()A.23iB.23iC.32iD.32i【解析】zi(32i)3i2i223i，z23i.【答案】A3.(2016衡阳高二检测)若i(xyi)34i(x，yR)，则复数xyi 的模是() A.2 B.3 C.
9、4 D.5【解析】由i(xyi)34i，得yxi34i，解得x4，y3，所以复数xyi的模为5.【答案】D4.(2014广东高考)已知复数z满足(34i)z25，则z()A.34iB.34iC.34iD.34i【解析】由(34i)z25，得z34i，故选D.【答案】D5.(2016天津高二检测)“m1”是“复数z(1mi)(1i)(mR，i为虚数单位)为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】z(1mi)(1i)1imim(1m)(1m)i，若m1，则z2i为纯虚数；若z为纯虚数，则m1.故选C.【答案】C6.设zC，若z2为纯虚数，则z在
10、复平面上的对应点落在()A.实轴上B.虚轴上C.直线yx(x0)上D.以上都不对【解析】设zabi(a，bR)，z2a2b22abi为纯虚数，ab，即z在复平面上的对应点在直线yx(x0)上.【答案】C7.设复数z满足i，则|1z|()A.0B.1C.D.2【解析】i，zi，|z1|1i|.【答案】C8.设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若zi22z，则z()A.1iB.1iC.1iD.1i【解析】设zabi(a，bR)，由zi22z，得(abi)(abi)i22(abi)，即(a2b2)i22a2bi，由复数相等的条件得得z1i.【答案】A9.若zcos isin (i为虚数单位)，则使
11、z21的值可能是()A.B.C.D.【解析】z2(cos isin )2(cos2sin2)2isin cos cos 2isin 21，22k(kZ)，k(kZ)，令k0知选D.【答案】D10.当z时，z100z501的值是()A.1B.1C.iD.i【解析】原式11(i)50(i)251i.故应选D.【答案】D11.在复平面上，正方形OBCA的三个顶点A，B，O对应的复数分别为12i，2i，0，则这个正方形的第四个顶点C对应的复数是()A.3iB.3iC.13iD.13i【解析】正方形的三个顶点的坐标分别是A(1，2)，B(2，1)，O(0，0)，设第四个顶点C的坐标为(x，y)，则，(x
12、2，y1)(1，2).第四个顶点C的坐标为(1，3).【答案】D12.复数z(x2)yi(x，yR)在复平面内对应向量的模为2，则|z2|的最大值为()A.2B.4C.6D.8【解析】由于|z|2，所以2，即(x2)2y24，故点(x，y)在以(2，0)为圆心，2为半径的圆上，而|z2|xyi|，它表示点(x，y)与原点的距离，结合图形易知|z2|的最大值为4，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上.)13.(2015天津高考)i是虚数单位，若复数(12i)(ai)是纯虚数，则实数a的值为_.【解析】由(12i)(ai)(a2)(12a)i是纯虚数可得a20，12a0，解得a2.【答案】214.复数z1，z22i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是_.【解析】z11，z22i32i，P(1，0)，Q(2，1)，(3，1)，即对应的复数为3i.
