《高中数学函数的单调性、最值和极值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学函数的单调性、最值和极值（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 函数的单调性、最值和极值函数的单调性、最(极）值是高考的热点，新课程中函数的单调性、最(极）值的规定提高了,也许更会成为高考的热点、难点.在高考试题中，函数的单调性、极（最）值往往是以某个初等函数为载体浮现，综合题往往与不等式、数列等联系起来，解决措施除了定义法之外，一般采用导数法难度值控制在06之间. 考试规定：理解函数单调性的概念，掌握判断简朴函数的单调性的措施；理解函数单调性与导数的关系;能求函数的最大(小）值;掌握用导数研究函数的单调性题型一 已知函数的单调性、最（极）值,求参变量的值.例1 设函数.（1）若的两个极值点为且,求实数的值；(2)与否存在实数，使得是上的单调函数?若存在
2、,求出的值；若不存在,阐明理由.点拨 由于是三次函数，因此只要运用“极值点的根”，转化为一元二次方程根的问题;运用在上单调(0），转化为判断一元二次函数图像能否在轴上方的问题.解 （1）由已知有，从而,因此;（2)由,得总有两个不等的实根,不恒不小于零,因此不存在实数,使得是上的单调函数.易错点 三次函数的极值点与原函数的导数关系不清;含参变量的问题是逆向思维，学生易浮现错误；学生不会将在上是单调函数的问题转化为恒成立问题变式与引申：(高考江西卷理） 设（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范畴;(2)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.题型二：已知最（极)值或其所在区域，通过单调性分
3、析参变量的范畴.例2已知函数(1)若函数的图像过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求，b的值;（2)若函数在区间(1，1）上至少有一种极值点,求a的取值范畴 点拔：第(1）问运用已知条件可得,求出a，b的值.第(2）问运用“极值点”的根转化为一元二次方程根的分布问题.解析：（1)由函数的图像过原点，得，又，在原点处的切线斜率是,则，因此，或(2）法一:由，得.又在上至少有一种极值点，即或解得或因此的取值范畴是法二：,由题意必有一根在(1,1）上，故,即,解得；或,则,当（舍去），当时，经检查符合题意;同理,则,经检查，均不符合题意,舍去有两个不同的根在(-1,1)上故解得：因此,a的取值范畴.
4、易错点:解不等式出错;第(2)问的解法一,不易分析.;第(2）问的解法二,分类讨论,不易讨论完整.变式与引申2:将（2）中改为“在区间（1，1)上有两个极值点”，或改为“存在极值点，但在区间(1，）上没有极值点”,如何求的取值范畴？题型三 函数的单调性、最（极）值与不等式结合的问题例3 设函数,已知和为的极值点.（）求和的值;(）讨论的单调性；（3）设，试比较与的大小点拔 此题是由指数函数与多项式函数等组合的超越函数,分析第()问先由极值点转化为方程的根,再用待定系数法；第(3)问中比较两个函数与的大小，可构造新函数,再通过度析函数的单调性来讨论与的大小关系.解 （1)由于,又和为的极值点，因
5、此，因此解方程组得,(2）由于，因此，令，解得,，.由于当时，；当时，.因此在和上是单调递增的;在和上是单调递减的.（)由（1）可知，故，令，则令，得,由于时,，因此在上单调递减.故时，;由于时，,因此在上单调递增故时，.因此对任意，恒有,又，因此,故对任意,恒有.易错点 求导数时,易出错；比较两个函数的大小属于不等式问题,学生容易只从不等式的简朴知识出发,而无法从构造的新函数的单调性来分析变式与引申3： 将第（3)问改为:设，试证恒成立本节重要考察:（1)用导数研究函数单调性，极值；(2）运用单调性、极值点与导数的关系解决某些综合问题；(3)方程与函数的转化,方程思想和函数思想综合应用;（4
6、）数形结合思想.点评：(1）讨论函数单调性必须在其定义域内进行,因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集； (2)求函数单调区间的常用措施：定义法、图像法、复合函数法、导数法等;（3)运用求导的措施研究函数的单调性、最(极)值，函数在区间上为单调问题转化为导函数在区间上的正负问题,从而转化为不等式问题,再而研究函数的最(极）值.需灵活应运用函数与方程思想、数形结合思想、化归思想和分类讨论思想等.习题131 已知：函数，若，均不相等,且,则的取值范畴是( ) 2.已知函数的定义域均为非负实数集,对任意的,规定 3 已知函数（1）设，求的单调区间;（)设在区间(2，3)上不单调,求的取值范畴.4.已知函数,.(I）若曲线与曲线相交，且在交点处有相似的切线，求a的值及该切线的方程;(II）设函数,当）存在最小值时,求其最小值的解析式；(III）对（）中的,证明:当时，15.设函数，其中为常数.()当时，判断函数在定义域上的单调性;（2）时,求的极值点；（3)求证对任意不不不小于的正整数，不等式都成立
