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1、数学高考综合能力题选讲30是否存在型的探索性问题100080 北京中国人民大学附中 梁丽平题型预测一般来说，是否存在型问题，实质上是探索结论的开放性问题相对于其他的开放性问 题来说，由于这类问题的结论较少（只有存在、不存在两个结论，有些时候须讨论），因此 思考途径较为单一，难度易于控制，受到各类考试的命题者的青睐解答这一类问题，往往从承认结论、变结论为条件出发，然后通过特例归纳，或由演绎 推理证明其合理性探索过程要充分挖掘已知条件，注意条件的完备性，不要忽略任何可能 的因素范例选讲例.已知数列a 中,na = 1，且对于任意自然数n，1总有an +1否存在实数a, b，使得an2 |对于任意自
2、然数n恒成立？证明你的结论. 3丿讲解：a = a 一 bf -是- 一个一般性的结论，为了探求a b是否存在，我们” I 3丿可从特殊的n出发，求出a,b的值，再检验是否满足一般的条件.aT = - 1，a 一 21代入an3丿，可解得1，另一方面，由5代入检验，可知当n = 4时,一方面由a=丄得an+1 a - 24n1 - 16，矛盾.5 45所以，这样的实数a, b不存在.上述过程是解答这一类问题的一般方法，但对于本题，有它的特殊性如果3丿可得：对极限的概念较为熟悉，不难发现，如果这样的a, b存在的话，则由lim a = a nn T +x对a =二两边取极限，得a = a ，解得
3、a = 0或3.n +1 a - 2a - 2n若a = 0，则数列a 应该是以1为首项，以2为公比的等比数列，显然，不 n3a =a-br 2 n，可求得b = 一3,此时，a = 3 + 3 xn 0, b是自然数)是奇函数，f (x ) ax 2 + 1有最大值1，且f (1 ) -.25(I) 试求函数f (x)的解析式；(II) 是否存在直线l与y = f (x)的图象只交于P、Q两点，并且使得P、Q两点的中点为(1，0)点，若存在，求出直线1的方程；若不存在，说明理由. 讲解：(1)由f (x)为奇函数易知：c = 0 .又因为a 0, b是自然数，所以，当x 0时，f (x )
4、0时，f (x ) 0 所以，f (x)的最大值1必在X 0时取得.2当X 0时,f ( X )=bxax 2 + 1 亠，等号当且仅当ax = 1/x时取得.所以，斗=1 .2n a 2又f (1 ) 2，所以，b 2 结合a 0, b是自然数，可得：a = b = 1 5a +15所以，f (x)二亠-x2 + 1(II)对于“是否存在型”的问题，一般探索的方法为：假设存在，导出矛 盾，或者从部分结论出发，导出其存在的必要条件，再验证是否充分根据上述思路，我们可以假设存在满足条件的直线1，则p、Q的坐标可为 P(x , y )，Q (2 - x , -y ) 且这两点都在函数f (x)=
5、的图像上即：0 00 0x 2 + 1x0 = yx 2 + 1002 一 x0= 一 y(2 - x )2 + 100消去 y 0，得 x 02 - 2 x 0 - 1 = 0，解得： = 1 土迓所以， P1+小,Q1一 J2邑或P1 一五一逅,Q1 + Q(4 J54丿(4 J4丿所以，直线1的方程为:x 一 4 y 一 1 = 0 -1 的存在性还须通过充分性的检验把直线1的方程与函数y = f (x)=联立，不难求得，共有三组解:x2 + 1x = 1 + V242 y =I4 x = 1 頁42，y = 一I4x = 1 2，只要一3)-S 一 2I 2 k丿 0 c 一 Sk因为
6、 S = 4( 1 11 一 0 (k e N)，故只要 2k3S - 2 c 3时,33 S - 2，2kS 2成立?S 一 ck”是否有更简洁的解法？请读者思考高考真题1 （ 2000 年上海咼考）已知复数 zo = 1 - m i（ m 0）, z = x + y i 和 w = x + y i, 其中x, y, x ： y，均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z,有 w = z 0 - z, I w 1= 2 I z I -（I）试求m的值，并分别写出x和y，用x、y表示的关系式；（II）将（x、y ）作为点P的坐标，（x、y :）作为点Q的坐标，上述关系可以 看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当 点P在直线y = x + 1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；（III）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该 直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由2（1995 年全国咼考 25 题）略答案与提示：1 .（I）|x =仁3y ；（ II）点Q的轨迹方程为y=弋 3 x - yy = （2 -3）x - 2、：3 + 2 ；（III）这样的直线存在，其方程为y = x或y =-材3x -3
