《【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.6垂直关系含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【北师大版】高中数学必修2精品讲学案：1.6垂直关系含答案（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 第1课时垂直关系的判定核心必知1直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直2直线与平面垂直的判定定理文字语言图形语言符号语言如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直3.二面角及其平面角(1)半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面(3)二面角的记法如图，记作：二面角AB.(4)二面角的平面角以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条
2、射线所成的角叫作二面角的平面角，其中平面角是直角的二面角叫作直二面角如图二面角l，若有Ol.OA，OB .OAl，OBl.则AOB就叫作二面角l的平面角4两个平面互相垂直(1)两个平面互相垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)两个平面互相垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直问题思考1若一条直线与平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直吗？为什么？提示：不一定垂直例如，a1a2a3，且a1，a2，l与这组平行直线垂直有可能直线l在这个平面内或与平面斜交2在直线与平面垂直的判定定理中为
3、什么强调一个平面内的两条相交直线？提示：(1)定理中的两条“相交直线”这一条件不可忽视，因为它体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”能够相互转化的数学思想(2)两条相交直线可以确定这个平面，虽然两条平行直线也可以确定这个平面，但由于平行线的传递性，直线垂直于平面内两条平行线时不能判定其和这个平面垂直如图：a，b，ab，la，lb，但l不垂直于.3如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，折痕AD与桌面垂直吗？提示：不一定垂直，只有当ADBC时，AD才与桌面所在的平面垂直讲一讲1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABC
4、D是矩形，PA平面ABCD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.尝试解答证明：如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD, AEDE，PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中点，EFPC.又BP2BC，F是PC的中点，BFPC.又BFEFF，PC平面BEF. (1)直线与平面垂直的判定(或证明)常用的方法是线面垂直的判定定理，要注意定理中的两个关键条件：面内的两条相交直线；都垂直(2)要证明线面垂直，先证线线垂直，而证线线垂直，通常又借助线面垂直，它们是相互转化的练一练1如图，RtABC所在平面外有一点S，且SASBSC，点D为斜边AC
5、的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)SASC，D为AC的中点，SDAC.在RtABC中，ADDCBD.又SBSA，SDSD，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，SD平面ABC.(2)BABC，D为AC中点，BDAC.又由(1)知SD平面ABC，SDBD.于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线BD平面SAC.讲一讲2.如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA，SB，SC，且ASBASC60，BSC90.求证：平面ABC平面BSC.尝试解答证明：法一：取BC的中点D，连接AD、SD.ASBASC60，且SASBSC，ASABAC.ADBC.又
6、ABS是正三角形，BSC为等腰直角三角形，BDSD.AD2SD2AD2BD2AB2AS2.由勾股定理的逆定理，知ADSD.又SDBCD，AD平面BSC.又AD 平面ABC，平面ABC平面BSC.法二：同法一证得ADBC，SDBC，则ADS即为二面角ABCS的平面角BSC90，令SA1，则SD，AD，SD2AD2SA2.ADS90.平面ABC平面BSC.常用的两个平面互相垂直的判定方法：(1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面角；(2)判定定理，即一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直；(3)两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于第三个平面对于判定定理，
7、可简述为“线面垂直，则面面垂直”练一练2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点，求证：平面CA1D平面AA1B1B.证明：ACBC，点D是AB的中点，CDAB.在直三棱柱ABCA1B1C1中，B1B平面ABC，又CD 平面ABC，CDB1B.又ABB1BB，CD平面AA1B1B.又CD 平面CA1D，平面CA1D平面AA1B1B.在矩形ABCD中，AB1，BCa(a0)，PA平面AC，且PA1，则BC边上是否存在点Q，使得PQQD？并说明理由巧思由条件可知AQQD.根据半圆上的圆周角是直角将BC边是否存在点的问题转化为以AD为直径的圆是否与BC边有公共点的问题来解决妙
8、解PA平面ABCD，PAQD.若PQQD，则QD平面PAQ.AQQD.当a2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一个点Q，使PQQD.当a2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个点Q，使PQQD.当0a2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故BC边上不存在点Q，使PQQD.1已知l，则过l与垂直的平面()A有1个B有2个C无数个D不存在解析：选C由面面垂直的判定知，过l任作一平面都与垂直2已知直线m，n与平面，下列可能使成立的条件是()A， Bm，mn，nCm，m Dm，m解析：选D选择适合条件的几何图形观察可得，A中与相交或平行；B中，相交，但不一定垂直；C中或与相交3(浙江高考
9、)设l是直线，是两个不同的平面()A若l，l，则B若l，l，则C若，l，则lD若，l，则l解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C，直线l可能在内也可能平行于；对于选项D，直线l可能在内或平行于或与相交4如图，已知：PA垂直于圆O所在平面AB是圆O的直径，C是圆周上一点则图中垂直的平面共有_对解析：平面PBC平面PAC；平面PAC平面ABC；平面PAB平面ABC.答案：35空间四边形ABCD中，若ABAD，BCCD，则AC与BD的位置关系是_解析：如图，设E为BD的中点，连接AE，CE.ABAD，BCCD，AEBD，CEBD，BD平面AEC.又AC 平面AEC，BDAC.答案
10、：垂直6已知四面体ABCD中，BCAC，BDAD，BECD于E，求证：CD平面ABE.证明：取AB中点M，连接MD，MC.BCAC，BDAD，CMAB，DMAB.又CMDMM，AB平面CDM.CD 平面CDM，CDAB.又CDBE，ABBEB，CD平面ABE.一、选择题1一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A平行B垂直C相交不垂直 D不确定解析：选B由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面2在三棱锥ABCD中，若ADBC，BDAD，那么必有()A平面ABD平面ADC B平面ABD平面ABCC平面ADC平面BCD D平面ABC平面BCD解析：选C由A
11、DBC，BDAD，BCBDBAD平面BCD，AD 平面ADC，平面ADC平面BCD.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A平面DD1C1C B平面A1DCB1C平面A1B1C1D1 D平面A1DB解析：选B如图，连接A1D、B1C，由ABCDA1B1C1D1为正方体可知，AD1A1B1，AD1A1D.故AD1平面A1DCB1.4设l、m为不同的直线，为平面，且l，下列为假命题的是()A若m，则ml B若ml，则mC若m，则ml D若ml，则m解析：选BA中，若l，m，则ml，所以A正确；B中，若l，ml，则m或m，所以B错误；C中，若l，m，则ml，所以C正确；若l，
12、ml，则m，所以D正确5如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是()AAG平面EFG BAH平面EFGCGF平面AEF DGH平面AEF解析：选AAGGF，AGGE，GFGEG，AG平面EFG.二、填空题6如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是_解析：ABCD是正方形，ACBD.又D1D平面ABCD，AC 平面ABCD，D1DAC.D1DDBD，AC平面BB1D1D.AC 平面ACD1，平面ACD1平面BB1D1D.答案
13、：垂直7如图所示，底面ABCD是矩形PA平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有_对解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面PAB平面ABCD，平面PAC平面ABCD，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面PAD，平面PAB平面PBC，平面PCD平面PAD.答案：68已知点O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PAPBPC，则O为ABC的_心；若PABC，PBAC，则O为ABC的_心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在ABC的内部，则O为ABC的_心解析：如图，由PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心；若PABC，又PO面ABC，BCPO.BC面PAO.BCAO.同理ACOB.O是ABC的垂心；
