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1、垂径定理教案学校右安门外国语学校教师张广州课题22.3垂径定理课型新课 课时第一课时教学方法小组合作,探索交流教材人教版九年级数学 上册第23章教学目标1知识技能目标： 理解垂径定理和推论的内容，并会证明，掌握弦、弧、直径之间的特定关系，并会利用垂径定理解决与圆有关问题。2过程方法目标： 经历探索垂径定理和推论的证明过程，掌握从特殊到一般，由猜测到论证的证明思路。学会与人合作探索获得新知识的一些方法。3情感态度与价值观： 通过参与垂径定理的数学活动，体会垂径定理的重要性，品尝成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造。教学重点1 垂径定理以及推论的证明，2 垂径定理的简单应用，教学难点 垂径定理
2、的简单应用教学用具 多媒体 , 投影仪 教 学 过 程教学环节教师活动学生活动教学意图（一）创设情境引入新知（二）动手实践，合作探索一、动脑想一想（出示幻灯片）1请欣赏下列图片，并思考这些美丽的图案有什么共同特征？ 2我们学过图形中轴对称图形有哪些？ 它们各有几条对称轴呢？ 3圆是不是轴对称图形呢？我们今天就来研究它。学生通过观察，指出他们都是轴对称图形，并指出对称轴。 学生答：线段、等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆。学生通过折纸活动，很容易答出：圆是轴对称图形。它有无数条对称轴，对称轴是-？学生答案1：它的直径。、学生答案2：经过圆心的直线由图片引出轴对称的知识，并将
3、其引入圆中来，可以使学生更深刻的体会生活中处处蕴含着数学.回顾学过的几何图形的对称性，为下面学习圆的对称性做铺垫，通过折纸活动，训练和提高学生的动手实践能力以及空间想象能力，为解决折叠问题提供思路，强化对称轴是一条直线的概念。训练学生使用准确的数学语言描述问题。二、动手折一折 请同学们拿出事先准备好的圆形纸片，按老师的要求来做。在圆形纸片上任意画一条直径，然后把这个圆形纸片沿着这条直径对折，观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论？（填空）结论 1圆是 轴 对称图形， 2它有 无数 条对称轴，3 经过圆心的每一条直线 都是它的对称轴。请同学们讨论一下如何描述圆的对称轴。圆是轴对称图形，它
4、还有哪些性质呢？（三）知识延伸思维拓展 三、亲自证一证：已知：CD是O的直径，AB是弦，ABCD,猜想一下会有那些等量关系。你能用几何语言叙述本题的的含义吗？垂径定理-垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理垂径定理。（教师板书课题-22.3垂径定理）首先我们分析一下这个定理的题设和结论。题设：垂直于弦的直径。结论：平分弦和弦所对的弧。（学生完成） 根据题设和结论，结合图形，我们可以进行证明。已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，垂足为E。求证：AE=BE， 分析：要求证线段相等，可以通过三角形或者等腰三角形性质，我们知道等腰三角形是轴对
5、称图形，它的对称轴是底边垂线所在的直线，那么我们如何把等腰三角形和圆联系起来呢？ 连结OA，OB，可以得到一个等腰三角形，CD所在的直线既是等腰三角形的对称轴又是O的对称轴，当把圆沿直径CD折叠时，会发现哪些部分重合？你能使用几何语言推理出本题的结论吗？（学生口述证明方法）由折纸活动，学生很容易找出相等关系：AE=BE, 学生说出题设和结论，如有错误，同学之间给予纠正。学生想到连结半径OA，OB, 并且有OA=OB。1用三角形全等2等腰三角形“三线合一”当把圆折叠时：1两个半圆重合2 AE、BE重合3 两段小弧各自重合。让学生自己归纳命题的题设和结论，可以使学生更加熟悉与圆有关的语言叙述。通过
6、折叠的方法让学生对于垂径定理的基本图形加深印象。（四）齐心合力攻克难关垂径定理的条件，1）垂直于弦 2）一条直线过圆心 垂径定理结论：3）平分弦 4）平分劣弧5）平分优弧定理的用途;在圆中，证明线段相等，证明弧相等。书写格式： CD是直径，AB是弦，CDAB AE=BE， 垂径定理实质：条件（1）+（2）=结论（3）（4）（5）（四）例题分析 例1 已知：在O中，直径CD交弦AB于点E，AE=BE，求证：CDAB， 证明：联结半径AO,BO， 半径AO=BO，AOB是等腰三角形 AE=BE CDAB（等腰三角形三线合一） CD是直径 （垂径定理）思考题：本题中为什么强调这条弦不是直径？垂径定理
7、推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理推论的实质：条件（2）+（3）=结论（1）（4）（5）书写格式：（1）AE=BE， CD为过圆心的直线， CDAB， （四）共同议一议：看下列命题是否是真命题，如果是，请证明，如果不是，请举出反例。1弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。2平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。以上两个命题都是真命题，他们都是垂径定理的推论，命题1实质：条件（1）+（3）=结论（2）（4）（5）书写格式：（1）AE=BE，CDAB CD过圆心， 命题2实质：条件（2）+（4）=结论（1）（3）（5）书写格
8、式：（2） CD是直径， ， CDAB ，AE=BE， 上述命题1、2也是垂径定理的推论内容，实际上，这五个条件，任意选择其中两个，都可以推出另外三个结论。垂径定理和它的推论是我们证明与圆有关的弦、弧、线段相等的重要方法之一，学生在小组讨论过后，归纳垂径定理以及推论的条件和结论，并简述证明过程闯关活动中，学生可以根据自身水平，选择题目参加闯关活动，题目由易到难，适合与不同层次的学生，尽量做到“人人都有收获”。学生说出两个命题的题设和结论，并进行简单的证明。学生小组讨论后回答。学生归纳出垂径定理的规律以及定理的用途，为今后解决实际问题奠定基础学生踊跃回答问题 ，让学生自己找出垂径定理的条件和结论
9、，目的是培养学生的观察能力，概括能力，分析能力，调动学生学习积极性，使学生主动的获得知识。小组合作探索交流，极大的调动了学生的积极性 培养学生的观察能力和分析能力，以及解决问题的能力。总结规律，培养学生的归纳总结能力。培养学生的灵活运用能力。 总结规律，使学生把知识归入体系。发散思维，开阔学生的想象空间，从而培养学生的创造能力，和创造思维。通过实际问题的结决，使学生会用所学的知识解决日常生活中的有关问题，从而使数学真正的为生活所用。 （五）PK知识大舞台（六）知识梳理五、赛一赛，谁最快（1）判断下列图是否是表示垂径定理的图形。 （2）判断下列语句是否正确。 平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（
10、 ） 平分弦的直线，必定过圆心。（ ） 一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。 （ ） ) 弦的垂直平分线一定是圆的直径。（ ） 平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。（ ） 弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。（ ）（3） 看图填空： CD是直径，CDAB CD是直径， AE=BE， AE=BE，CDAB CD是直径， （4）你能画出使用垂径定理的相关图形码？ 本节课我们都学习了哪些内容？1圆是轴对称图形2垂径定理及推论。3 垂径定理的书写格式和用途。 4 你掌握了-？ 5 你有哪些困惑-？学生积极动脑参与，共同学习新的知识学生总结本节课的内容，提出知识要点。 赛一赛环节使学生进一步熟悉垂径定理的使用条件。并把所学的知识纳入已有的知识体系。学生自己整理知识，有利于他们完善自己的数学体系，也有利于提高他们的整合知识的能力和概括能力。（七）课 后作 业 三级跳的中与垂径定理有关的内容（八）板书设计 垂径定理1垂径定理内容 2垂径定理推论的内容 3垂径定理常用的图形书写格式 书写格式定理用途 定理用途
