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1、有关圆的经典例题 1. 分析：根据题意，需要自己画出图形进展解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论，当AB、AC在圆心O的异侧时，如下列图所示，过O作ODAB于D，过O作OEAC于E，OAD=30，OAE=45，故BAC=75，当AB、AC在圆心O同侧时，如下列图所示，同理可知OAD=30，OAE=45，BAC=15点拨：此题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。例2. 如图：ABC的顶点A、B在O上，O的半径为R，O与AC交于D，1求证：ABC是直角三角形；分析：则AF=FB，ODAB，可证DF是ABC的中位线；2延长D
2、O交O于E，连接AE，由于DAE=90，DEAB，ADF解：1证明，作直径DE交AB于F，交圆于E又AD=DCABBC，ABC是直角三角形。2解：连结AEDE是O的直径DAE=90而ABDE，ADFEDA例3. 如图，在O中，AB=2CD，则分析：解：解法一，如图，过圆心O作半径OFAB，垂足为E，在AFB中，有AF+FBAB选A。解法二，如图，作弦DE=CD，连结CE在CDE中，有CD+DECE2CDCEAB=2CD，ABCE选A。例4. 求CD的长。分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分ADC，延长AB、DC交于E，易得EBCEDA，又可判定AD是O的直径，得ABD=90，可证得ABD
3、EBD，得DE=AD，利用EBCEDA，可先求出CE的长。解：延长AB、DC交于E点，连结BDO的半径为2，AD是O的直径ABD=EBD=90，又BD=BDABDEBD，AB=BE=1，AD=DE=4四边形ABCD接于O，EBC=EDA，ECB=EAD例5. 于H，交O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。1当PCF满足什么条件时，PC与O相切，为什么？分析：由题意容易想到作辅助线OC，1要使PC与O相切，只要使PCO=90，问题转化为使OCA+PCF=FAH+AFH就可以了。解：1当PC=PF，或PCF=PFC时，PC与O相切，下面对满足条件PC=PF进展证明，连结OC，则OCA=F
4、AH，PC=PF，PCF=PFC=AFH，DEAB于H，OCA+PCF=FAH+AFH=90即OCPC，PC与O相切。即AD2=DEDF点拨：此题是一道条件探索问题，第1问是要探求PCF满足什么条件时，PC与O相切，可以反过来，把PC与O相切作为条件，探索PCF的形状，显然有多个答案；第2问也可将AD2=DEDF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。例6. D作半圆的切线交AB于E，切点为F，假设AE：BE=2：1，求tanADE的值。分析：要求tanADE，在RtAED中，假设能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可
5、以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。解：四边形ABCD为矩形，BCAB，BCDCAB、DC切O于点B和点C，DE切O于F，DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB，又AE：EB=2：1，设BE=*，则AE=2*，DC=AB=3*， DE=DC+EB=4*，在RtAED中，AE=2*，DE=4*，点拨：此题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。例7. O1与O2相交于A、B两点，且点O2在O1上，1如下列图，AD是O2的直径，连结DB并延长交O1于C，求证CO2AD；2如下列图，如果AD是O2的一条弦，连结DB并延长交O1于C，则CO2所在直线是否与AD
6、垂直？证明你的结论。分析：1要证CO2AD，只需证CO2D=90，即需证D+C=90，考虑到AD是O2的直径，连结公共弦AB，则A=C，DBA=90，问题就可以得证。2问题是一道探索性的问题，好似难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得1=2，且有AO2CDO2C，故CA=CD，可得结论CO2AD。解：1证明，连结AB，AD为直径，则ABD=90D+BAD=90又BAD=C，D+C=90CO2D=90，CO2AD2CO2所在直线与AD垂直，证明：连结O2A、O2B、O2D、AC在AO2C与DO2C中O2BD=
7、O2AC，又O2BD=O2DB，O2AC=O2DBO2C=O2C，AO2CDO2C，CA=CD，CAD为等腰三角形，CO2为顶角平分线，CO2AD。例8. 如下列图，正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心，积S。图中阴影局部分析：阴影局部面积等于三角形面积减去3个扇形面积。解：分析：因三个扇形的半径相等，把三个扇形拼成一个扇形来求，因为A+B+C=180，原题可在上一题根底上进一步变形：A1、A2、A3An相外离，它们的半径都是1，顺次连结n个圆心得到的n边形A1A2A3An，求n个扇形的面积之和。解题思路同上。解：一、填空题104=40分1. ：一个圆的弦切角是50，则这个弦切角所
8、夹的弧所对的圆心角的度数为_。2. 圆接四边形ABCD中，如果A：B：C=2：3：4，则D=_度。3. 假设O的半径为3，圆外一点P到圆心O的距离为6，则点P到O的切线长为_。4. 如下图CD是O的直径，AB是弦，CDAB于M，则可得出AM=MB，等多个结论，请你按现有的图形再写出另外两个结论：_。5. O1与O2的半径分别是3和4，圆心距为，则这两圆的公切线的条数是_。6. 圆柱的高是13cm，底面圆的直径是6cm，则它的侧面展开图的面积是_。7. ：如下图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=16cm，拱高CD=4cm，则拱形的半径是_。8. 假设PA是O的切线，A为切点，割线PBC交O于B，假
9、设BC=20，PA=，则PC的长为_。9如图5，接于O，点是上任意一点不与重合，的取值围是第9题图10如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70、40，则1的度数为 . 11的半径是3，圆心O到直线l的距离是3，则直线l与的位置关系是 O12如图，点E是圆O上的点， B、C分别是劣弧的三等分点， ，则的度数为13如图，中，将绕所在的直线旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的侧面积取3.14，结果保存两个有效数字图8第14题图fABC14如图8，两个同心圆的半径分别为2和1，则阴影局部的面积为AOBNM15如图，是的直径，为弦，过点的的切线交延长线于点假设，则的半径为cm16如图，是由绕点
10、顺时针旋转而得，且点在同一条直线上，在中，假设，则斜边旋转到所扫过的扇形面积为CBA15题图OADPEBC第17题图17如图，从圆O外一点引圆O的两条切线，切点分别是，假设，是上的一个动点点与两点不重合，过点作圆O的切线，分别交于点，则的周长是18、在平面，O的半径为5cm，点P到圆心O的距离为3cm，则点P与O的位置关系是.19如图8，在中，将其绕点顺时针旋转一周，则分别以为半径的圆形成一圆环则该圆环的面积为 20如图9，点是上两点，点是上的动点与不重合连结，过点分别作于点，于点，则 ACB图8AEOFBP图9三、解答题： 1. ：如下图，O1和O2相交于A、B两点，过B点作O1的切线交O2
11、于D，连结DA并延长与O1相交于C点，连结BC。过A点作AEBC与O2相交于E点，与BD相交于F点。1求证：EFBC=DEAC；2假设AD=3，AC=1，AF，求EF的长。 2. *单位搞绿化，要在一块图形的空地上种四种颜色的花，为了便于管理和美观，一样颜色的花集中种植，且每种颜色的花所占的面积一样，现征集设计方案，要求设计的图案成轴对称图形或中心对称图形。请在如下图的圆中画出三种设计方案。只画示意图，不写作法。 3. ：ABC是O的接三角形，BT为O的切线，B为切点，P为直线AB上一点，过点P作BC的平行线交直线BT于点E，交直线AC于点F。1如下图，当点P在线段AB上时，求证：PAPB=P
12、EPF；2当点P为线段BA延长线上一点时，第1题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；3假设AB，求O的半径。4如图，是的接三角形，点是优弧上一点点不与重合，设，1当时，求的度数；2猜测与之间的关系，并给予证明ADBOCE5、分：如图，在ABC中，AB=AC，以BC为直径的半圆O与边AB相交于点D，切线DEAC，垂足为点E求证：1ABC是等边三角形；2DCOABE6、：如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径的圆与分别交于点，且1判断直线与的位置关系，并证明你的结论；2假设，求的长7、如图，在梯形ABCD中，ABCD，O为切圆，E为切点，求的度数；假设cm，cm，求OE的长8
13、、RtABC中，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N当扇形绕点C在的部旋转时，如图，求证：；CABEFMN图CABEFMN图当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由9如图，接于，过点的直线交于点，交的延长线于点，1求证：；2如果，的半径为1，且为的中点，求的长10(此题总分值10分)：如图，在半径为4的O中，AB，CD是两条直径，M为OB的中点，CM的延长线交O于点E，且EMMC连结DE，DE=.(1) 求证：；(2) 求EM的长；3求sinEOB的值.11此题总分值10分，第1小题总分值3分，第2小题总分值7分OCADEH图8“创意设计公司员工小王不慎将墨水泼在一设计图纸上，导致其中局部图形和数据看不清楚如图7所示图纸上的图形是*建筑物横断面的示意图，它是以圆的半径所在的直线为对称轴的轴对称图形，是与圆的交点图71请你帮助小王在图8中把图形补画完整；第12题图
