《人教版高中数学选修三7.1.2全概率公式 教学设计》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学选修三7.1.2全概率公式 教学设计（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、7.1.2 全概率公式本节课选自2019 人教 A 版高中数学选择性必修第三册,第七章随机变量及其分布列, 本节课主本节课主要学习全概率公式学生已经学习了有关概率的一些基础知识 ,对一些简单的概率模型（ 如古典概型、几何概型） 已经有所了解。刚刚学习了条件概率 , 乘法公式和全概率公式是计算较为复杂概率问题的有力工具。教学过程教学设计意图核心素养目标公式的理解重在在具体的问题情境中进行运用。同时注意运用集合的观点理解公式。课程目标学科素养A.结合古典概型,了解利用概率的加法公式 1.数学抽象:全概率公式和乘法公式推导出全概率公式的过程;B. 理解全概率公式的形式并会利用全概率 公式计算概率;C
2、.了解贝叶斯公式以及公式的简单应用.2.逻辑推理:从特殊到一般的思想方法3.数学运算:运用全概率公式求事件概率4.数学建模:将相关问题转化为对应概率模型重点:会用全概率公式计算概率. 难点:理解全概率公式多媒体𝑎 = 2 11 1 2 n1 2n i i i 一、 问题导学在上节计算按对银行储蓄卡密码的概率时,我们首先把一个复杂事件表示为一些简单事件运算的结果,然后利用概率的加法公式和乘 法公式求其概率,下面我们再看一个求复杂事件概率的问题.二、 新知探究问题 1.从有 𝑎 个红球和 b 个蓝球的袋子中,每次随机摸出 1 个球,摸出开门见山,提出问题.的球不再放
3、回.显然,第 1 次摸到红球的概率为𝑎𝑏.那么第 2 次摸到红球的概率是多大? 如何计算这个概率呢?用 R 表示事件“第 i 次摸到红球”,B 表示事件“第 i 次摸到蓝球”,i=1,2. i i事件 R 可按第 1 次可能的摸球结果(红球或蓝球)表示为两个互斥事 2件的并,即 R =R R UB R .利用概率的加法公式和乘法公式,得 2 1 2 1 2𝑃(𝑅 ) = 𝑃(𝑅 𝑅 𝐵 𝑅 ) = 𝑃(𝑅 ⻓
4、7; ) 𝑃(𝐵 𝑅 ) = 𝑃(𝑅 )𝑃(𝑅 |𝑅 )2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1𝑃(𝐵 )𝑃(𝑅 |𝐵 ) = 1 2 1𝑎 𝑎1 𝑏 𝑎 𝑎 𝑎𝑏 𝑎𝑏1 𝑎𝑏 𝑎Ү
5、87;1 𝑎𝑏通过具体的问题情境,引发学生思考P ( R )1P ( B )1R P(R |R )12 1P(B |R )P(R2|B )1BP(B |B )R2B2R2B2R R1R B1 2B R1 2B B1 22积极参与互动,说出自己见解。从而建立全概率的概念,发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数2 1按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由 概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率。一般地,设 A ,A ,A 是一组两两互斥的事件,A A A , 且 P(A )0,i1,2,n,则对任意的事件 B,有我们称上面的公式为全概率公
6、式nP(B)= P(A )P(B|A )i1学建模的核心素养。让学生亲身经历 了从特殊到一般,获 得全概率概念的过1 1 1 1i i i i 程。发展学生逻辑推 理,直观想象、数学抽 象和数学运算的核 心素养。三、典例详细解析例 1. 某学校有 A,B 两家餐厅,王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第 1 天去 A 餐厅,那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.6;如果第 1 天去 B 餐厅,那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.8.计算王同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率.分析:第 2 天去哪家餐厅用餐的概率受第 1 天在哪家餐厅用餐的影响,可根据第 1 天可能去的餐厅,
7、将样本空间表示为“第 1 天去 A 餐厅”和 “第 1 天去 B 餐厅”两个互斥事件的并,利用全概率公式求解。解:设 A =“第 1 天去 A 餐厅用餐”, B =“第 1 天去 B 餐厅用餐”, 1 1A =“第 2 天去 A 餐厅用餐”,则 =𝐴 𝐵 , 且𝐴 与𝐵 2得互斥,根据题意P(A )=P(B )=0.5, P(A |A )=0.6, P(A |B )=0.8,1 1 2 1 2 1由全概率公式,得P(A )= P(A ) P(A |A )+ P(B ) P(A |B )=0.50.6+0.50.8=0.72 1 2
8、 1 1 2 1因此,王同学第 2 天去 A 餐厅用餐得概率为 0.7.对全概率公式的理解某一事件 A 的发生可能有各种的原因,如果 A 是由原因 B (i 1,2,n) 所引起,则 A 发生的概率是 P(AB )P(B )P(A |B ),每一原因都 可能导致 A 发生,故 A 发生的概率是各原因引起 A 发生概率的总和, 即全概率公式 . 由此可以形象地把全概率公式看成为 “ 由原因推结 果”, 每个原因对结果的发生有一定的 “ 作用 ”, 即结果发生的可能性与 各种原因的“作用”大小有关例 2:有 3 台车床加工同一型号的零件,第 1 台加工的次品率为 6%,第2,3 台加工的次品率均为
9、 5%,加工出来的零件混放在一起.已知第 1,2,3 台车床加工的零件数分别占总数的 25%,30%,45%.(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;(2)如果取到的零件是次品,计算它是第 i(i=1,2,3)台车床加工的概率.通过概念辨析, 让学生深化对全概 率的理解。发展学生 逻辑推理,直观想象、 数学抽象和数学运 算的核心素养。1 2 3 1 2 3P(A1B)2 分析:取到的零件可能来自第 1 台车床,也可能来自第 2 台或第 3 台车床,有 3 种可能.设 B=“任取一零件为次品”,A =“零件为第 i 台车床加i工”(i=1,2,3),如图所示,可将事件 B 表示为 3 个两两互斥
10、事件的并,利用 全概率公式可以计算出事件 B 的概率.通过概念辨析, 让学生深化对全概 率的理解。发展学生 逻辑推理,直观想象、 数学抽象和数学运 算的核心素养。解:设 B=“任取一个零件为次品”,A =“零件为第 i 台车床加工”(i=1,2,3), i则𝛺 = 𝐴 𝐴 𝐴 ,且𝐴 , 𝐴 , 𝐴两两互斥,根据题意得P(A )=0.25, P(A )=0.3, P(A )=0.45,P(B|A )=0.06, P(B|A )=1 2 3 1 2P(B|A )=0.05.3(1)由全
11、概率公式,得P(B)=P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )+ P(A )P(B|A )1 1 2 2 3 3=0.250.06+0.30.05+0.450.05=0.0525(2)“如果取到得零件是次品,计算它是第 i(i =1,2,3)台车床加工的概 率”,就是计算在 B 发生的条件下,事件 Ai 发生的概率.P(A1|B) = =P(B)P(A1)P(B|A1) P (B)=0.250.060.0525=27同理可得P(A2|B) = ; P(A3|B) =737问题 2:例 5 中 P(A ), P(A |B)得实际意义是什么?i i𝑷(𝑨
12、)是试验之前就已知的概率,它是第𝒊台车床加工的零件所 𝒊占的比例,称为先验概率。当已知抽到的零件是次品(𝑩发生),𝑷(𝑨 |𝑩)𝒊, ,𝟐 𝟐 𝟑i ( )P A P ( B | A )是这件次品来自第𝒊台车床加工的可能性大小,通常称为后验概率。 如果对加工的次品,要求操作员承担相应的责任,那么就分别是第𝟏,𝟐,𝟑台车床操作员应承担的份额。 𝟕 ҷ
13、89; 𝟕*贝叶斯公式:一般地，设 A A1， 2，A 是一组两两互斥的事件，有 A A n 1 2 A =W， n且P(A )0,i=1,2, ,n,则对任意的事件 B W，P ( B ) 0有iP (A)P(B | A ) P (A)P(B | A )P ( B | A ) = i i = i i , i=1,2, ,nP ( B ) ni ii =1例 6:在数字通信中,信号是由数字 0 和 1 组成的序列。由于随机因素的干扰,发送的信号 0 或 1 有可能被错误地接收为 1 或 0.已知发送信号 0 时,接收为 0 和 1 的概率分别为 0.9 和 0.1;发送信号 1
14、 时,接收为 1和 0 的概率分别为 0.95 和 0.05.假设发送信号 0 和 1 是等可能的. (1)分别求接收的信号为 0 和 1 的概率;*(2)已知接收的信号为 0,求发送的信号是 1 的概率.分析:设 A=“发送的信号为 0”,B=“接收到的信号为 0”.为便于求解,我 们可将目中所包含的各种信息用图直观表示。发送发送𝑷(𝑩|𝑨)𝑷(𝑩|𝑨) = 𝟎. 𝟏 𝑷(𝑩|𝑨 )𝑷(𝑩
15、;|𝑨)接收接收解: 设𝐴 = “发送的信号为 0”, 𝐵 = “接收到的信号为 0”, 则𝐴 = “发送的信号为 1”,𝐵 = “接收到的信号为 1”. 由题意得(1)𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) + 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) = 0.5 0.9 + 0.5 0.05= 0.475;𝑃(𝐵
16、) = 1 𝑃(𝐵) = 1 0.475 = 0.525.𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴) = 0.5, 𝑃(𝐵|𝐴) = 0.9, 𝑃(𝐵 |𝐴) = 0.1,𝑃(𝐵|𝐴) = 0.05, 𝑃(𝐵 |𝐴) = 0.95.1 2 3 4 1 2 3 4 3 3 3 i (2)𝑃(𝐴|𝐵) =𝑃(𝐴)𝑃(𝐵|𝐴) 0.5 5 0.05 1= =𝑃(𝐵) 0.475 19若随机试验可以看成分两个阶段进行 ,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知 ,那么 : 1 生的概率 ,则用全概率公式 ; 2如果要求的是第二阶段某一个结果发 如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝 叶斯公式,类似于求条件概率.
