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1、3)tana tan ptan(aP)=环E-,k?Z).变形式tan a ? tan p2.二倍角公式tan(a ? p)(1 严a tan p)(a 卩，a + p ?如-,k ? Z)三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1)sinQ B) = sin a cos p 土 cos a sin p .+ sin a sin P2) cos(a p) = cos a cos psin a cosa = sin 2a1) sin2a = 2sin a cosa .变形式22)cos2 a = cos2 a - sin2 a = 1 - 2sin 2 a = 2
2、cos 2 a -1.变形式cos2 a =cos2a + 12sin2 x =1- cos2a23)tan 2a =2tan a1 - tan2a3.辅助角公式bcos a) = -a 2 + b 2 sin (a + 9)y = a sin a + b cos a = xa 2 + b 2 ( _asin a + -a 2 + b2V a 2 + b 2其中9所在的象限由a、b的符号确定，9角的值由tan9 = b确定.a4.化简中常用 1的技巧1的”代换1 =sin2a+cos2a；1= 2cos2a- cos2a， 1= cos2a+ sin2a-1= tan 4.馬尹经典例题一，填空
3、题（共5小题）1.（ 2012北京模拟）如果函数y=cos2x - sin2x的最小正周期是4n，那么正数 的值是.【解答】解：因为函数y=cos2x - sin2wx=cos2wx，它的最小正周期是4n，所以/解得=_ .故答案为：一2 （ 2015张掖模拟）已知a为第_象限角，则cos2a= 【解答】解：，两边平方得：1+s in 2a=,sin2a=- ，( sina - cosa ) 2=1 - sin2a=-， a为第二象限角，sina0 , cosaVO , sina-cosa=， cos2a=-( sina- cosa)( sina+cosa)=()X 故答案为：.3 . ( 2
4、016 春信阳月考)已知函数 f ( x ) =cos2x+as inx 在区间(0, nn ) ( nN*)内恰有9 个零点，则实数 a 的值为 1 【解答】解：依题意，令 F(x)=asinx+cos2x=0，现研究xe (0 , n) U ( n , 2n )时方程a= 的解的情况.令 h ( x ) = , xe ( 0 , n ) U ( n , 2n ),则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),xe ( 0 , n ) U (n,2n )的交点情 况h，( x)=，令 h，( x)=0，得 x=_ 或 x=一，当x变换时，由h(x), h (x )的变化情况可得：当x0且x趋
5、近于0时,h ( x )趋向于-00 ,当x Vn且x趋近于n时,h ( x )趋向于-00 ,当xn且x趋近于n时,h ( x )趋向于+* ,当xV2n且x趋近于2n时,h ( x )趋向于+* ,故当a1时，直线y=a与曲线y=h ( x )在(0 , n )内无交点，在(n , 2n )内 有2 个交点；当aV - 1时，直线y=a与曲线y=h ( x )在(0 , n )内有2个交点，在(n , 2n ) 内无交点；当-1VaV1时，直线y=a与曲线y=h( x )在(0 ,n )内有2个交点，在(n , 2n ) 内有2个交点；由函数h( x )的周期性/可知当aH1时，直线y=a
6、与曲线y=h( x )在(0n ) 内总有偶数个交点，从而不存在正整数n，使得直线y=a与曲线y=h ( x )在(0 , nn )内恰有9个零点；/ /又当a=1或a= - 1时，直线y=a与曲线y=h ( x )在(0 , n ) U ( n , 2n )内有3 个交点，由周期性,9=3X3 ,依题意得n=3X2=6 .综上，当 a=1，n=6，或 a= - 1，n=6 时，函数 f （ x）=cos2x+asinx 在（0，nn ）内恰有9个零点故答案为：14 . ( 2013 四川)设 sin 2a= - sin a , a ( ，n ) / 则 tan2a 的值是【解答】解：sin
7、2a=2si nacosa= - sin a , a$ ( , n ),cosa= , sina= tana=-则 tan2a二故答案为：5 .（ 2013新课标I ）设当x=0时/函数（x ）=sinx - 2cosx取得最大值/则cosO=【解答】解：f ( x ) =sinx - 2cosx= - ( sinxcosx ) = 一sin ( x - a )(其中cosa= , sina=),Tx=e时，函数f ( x )取得最大值，sin ( 0 - a) =1 , 即卩 sin0 - 2cos0=,又 sin20+cos20=1 ,联立得(2cos0+ _) 2+cos20=1 ,解得
8、 cos0=.故答案为：-一二解答题(共 10 小题)6 . ( 2018浙江模拟)已知函数 f ( x ) =cos ( 2x+R ) +sin2x ( OWVn )(1 )若忙一，求f ( x )的值域；(2)若f(X )的最大值是-，求彷的值.【解答】解：(1 )忙时，函数 f( x ) =cos( 2x+R ) +si n2x=cos( 2x+ ) +=(cos2xcos - sin2xsin ) + -C0S2X=cos2xsin 2x+-=-cos ( 2x+ ) +-，由-iWcos ( 2x+ ) Wl ,得 0W_cos ( 2x+ ) +-Wl ,f (x )的值域为0 ,
9、 1；(2 )函数 f ( x ) =cos ( 2x+R ) +sin2x=cos2xcossin2xsin+=(cos-)cos2x -sin彷sin2x+，且f (x)的最大值是-,即一-+ 一 =1 ,一 -COS彷一=1 ,解得 cos=0，又OWVn,7 ( 2018诸暨市二模)己知函数 f ( x ) =4sinxsin ( x+l (1)求f()的值：(2 )设A是AABC中的最小角，f ( A ) =_ ,求f ( A+_ )的值.【解答】解：(1 )函数 f ( x ) =4sinxsin ( x+_ )- I ,f ( ) =4sinsin ( +_ )- 1=4一 si
10、n-1=2()-1=- 2；(2 )函数 f ( x ) =4sinxsin ( x+ )- I=4sinx (-sinx+cosx )- 1=2sin2x+2 sinxcosx - 1= sin2x - cos2x=2sin ( 2x ) /又A是AABC中的最小角，AW ( 0 , , 2A (，,f (A) =2sin (2A-)=-，sin ( 2A )=-，2A W ( 0 ,f ( A+ ) =2sin ( 2A )=2cos ( 2A )8 . ( 2018 广西三模)已知函数 f ( x ) =sinx+tanx - 2x .(1 )证明：函数f ( x )在(-_ , _ )
11、上单调递增；(2)若 xe (O,-),f(x) 三 mx2， 求m的取值范围.【解答】解：(I )函数f ( x ) =sinx+tanx - 2x则, 9 ,cosxe ( 0 , 1 ,于是(等号当且仅当x=0时成立).故函数f ( X )在，上单调递增.(n )由(I)得f (x)在，上单调递增，又f (0) =o,f ( x ) 0 ,(i )当 mW0 时,f ( x ) 0三mx2成立.(ii )当 m0 时，令 p ( x ) =sinx - x ,则 p ( x ) =cosx - 1 ,当 ，-时,p ( x ) 0 , p ( x )单调递减，又p ( 0 ) =0 ,所
12、以 p ( x ) 0 ,故 ，一时，sinxx .( * )由(*)式可得f ( x)- mx2=sinx+tanx- 2x- mx2,存在，-使得 h (t) =0 ,即 xU ( 0 , t )时,h ( x ) VO ,xW ( 0 , t )时，g ( x ) VO , g ( x )单调递减，又Tg ( 0 ) =0 ,g ( x ) V0 ,即 xU ( 0 , t )时,f ( x )- mx2V0，与 f ( x ) mx2矛盾.综上，满足条件的m的取值范围是(- , 0 9 . ( 2018宁波二模)已知函数 f ( x ) =4cosxsin ( x )- 1 (I )求
13、函数f (x)的单调递增区间；(II )在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ,若满足f ( B ) =0 , a=2 , 且D是BC的中点，P是直线AB上的动点，求| CP | + | PD |的最小值.【解答】解：(I )函数f ( x ) =4cosxsin ( x - )- 1=4cosx (sinx - -cosx )- 1=sin2x - cos2x - 2=2sin ( 2x )- 2 ； ( 4 分)由于-+2knW2x - -W-+2kn , kuz ,解得-+knWxW+kn , kUZ ；所以f ( x )的增区间为kn - , kn+ , kUZ ； ( 6分)(I )由 f ( B ) =2sin ( 2B - )- 2=0 得2B - 一=一，所以 B=- ； (8 分) 作C关于AB的对称点U，连CD , CP , UB，如图所示;(UD ) 2=BD2+ ( BC ) 2+bdBU=7 ； (12 分)CP+PD=CP+PD 三CD=-,C , P , D三点共线时取得最小值(14分)10 . ( 2017 秋昌吉市期末)已知函数 f ( x ) =cos2x - sin2x+2 sinxcosx .(1) 求f (x )的最小正周期和单调递增区间.(2) 当xW0,-时，求f (x)的最值.【解答】解(1 )函数f ( x )
