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1、玩转函数第一招 第1招:函数与映射概念的理解【知识点理解】映射.映射:B的概念。对于两个集合A,如果按照某种相应法则f，对于集合A中的任何一种元素在集合B中均有唯一的元素和它相应,这样的相应(涉及A、B及）叫做从集合A到集合B的映射.记作：:B1A 2345 B65 B1A 23465 B5 B1A 2345 B61A 23465 B f f （1） (2) (3） (4)在以上的四种相应关系中，(1)（）不是映射,()(4）是映射对于映射这个概念，应明确如下几点：映射中的两个集合A和可以是数集,点集或由图形构成的集合以及其他元素的集合.映射是有方向的,A到B的映射与B到的映射往往是不相似的.
2、映射规定对集合A中的每一种元素在集合B中均有象，而这个象是唯一拟定的.这种集合A中元素的任意性和在集合中相应的元素的唯一性构成了映射的核心.映射容许集合B中的某些元素在集合A中没有原象,也就是由象构成的集合CB. 映射容许集合A中不同的元素在集合B中有相似的象,即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”.一 一映射:设,B是两个集合，f:B是从集合到集合的映射,如果在这个映射的作用下,对于集合A中的不同的元素，在集合B中有不同的象，并且B中每一元素均有原象,那么这个映射叫做从A到B上的一一映射.一一映射既是一对一又是B无余的映射在理解映射概念时要注意:中元素必须均有象且唯一;B中元素
3、不一定均有原象,但原象不一定唯一。总结：取元任意性，成象唯一性。【精确训练】()设是集合到的映射，下列说法对的的是A、中每一种元素在中必有象 B、中每一种元素在中必有原象 、中每一种元素在中的原象是唯一的 D、是中所在元素的象的集合(答：A）；(2）、若从集合A到集合B的映射f满足中的任何一种元素在A中均有原象,则称映射f为从集合A到集合B的满射,现集合A中有3个元素,集合B中有2个元素,则从集合A到集合的满射f的个数是： A、5 B、6 C、 D、（答：B）()点在映射的作用下的象是,则在作用下点的原象为点_（答:（2,-）)；（4）、b为实数，集合表达把集合中的元素x映射到集合N中仍为，则
4、= A、1 B、0 C、1 D、1（5)若，,则到的映射有 个,到的映射有 个,到的函数有 个（答:8，64,81）；（6）设集合，映射满足条件“对任意的,是奇数”，这样的映射有_个(答：12）；(7)设是集合A到集合B的映射,若B=1,2，则一定是_(答:或).（）、已知集合,则满足条件的映射的个数是 ( ）（A)2 （B)4 （C）5 (D)（9）、从集合到的映射中满足条件个数是 ( ）(）2 (B）3 （C)4 （D)6(10）、已知集合，在的映射中满足条件，个数是 （ )(1)、A=1，2，4，,=6,7，8，从集合A到B的映射中满足f（1)f（）(3)（4)f（5）的映射有（ ）A、
5、2 、9 C、21 D、12解:（1）当一种不等号也没有时,（即与中的一种元素相应）,则有C个（2）有一种不等号时的映射（即与中的两个元素相应）,有CC=2个(3)有二个不等号的映射，f有CC=6个。因此共有3+12+6=21个,答案选C。(12）、已知映射，其中集合，集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象，且对任意的，在B中和它相应的元素为,则集合B的真子集个数是。(13)、设集合, 是映射,且满足条件，这样的从自身的映射个数是（A）1 （B)2 (）3 （)4（14)、已知集合，则满足条件的映射的个数是 （A) (B）5 （) （）0（15)、从任何一种正整数出发，若n是偶数就除以2，若
6、n是奇数就乘3再加,如此继续下去,目前你从正整数3出发,按以上的操作，你最后得到的数不也许是 A,10 B,4 ，2 ，（)、已知集合,则满足条件：对每一种是偶数的映射的个数是 （)4 （B)7 (）12 (D)非上述成果（7)、 由定义映射:,则的象是( )A、 B、 C、 D 、 （18)、定义运算，则，按照，称点(,y)映到点（x,y)的一次变换。把直线y=x上的各点映到这点自身,而把直线y=mx上的各点映到这点有关原点的对称点。这时,k= m p= q= 2,1,3,3，-(）设M平面内的点(a，b),N(x)f(x)=acs2xsi2x,给出M到N的映射f:(a，b)(）=aoxbs
7、in2x,则点(1,)的象f()的最小正周期为. B2 C. D 函数:1函数定义a:老式（古典)定义：如果在某变化过程中,有两个变量x，,并且对于x在某个范畴内的每一种拟定的值,按照某个相应法则，y均有唯一拟定的值和它相应，那么y就是的函数.叫做自变量，x的取值范畴叫做函数的定义域,和x的值相应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域. : 近代(映射)定义：设A,B都是解空的数的集合,f是从A到B的一种相应法则,那么到B的映射f:B叫做A到B的函数.记作y=f（x),其中A,yB 原象的集合A叫做函数f（x)的定义域。 注:（1）两种定义的比较: 相似点：1实质一致 2定义域,值域意
8、义一致 相应法则一致不同点：1老式定义从运动变化观点出发,对函数的描述直观,具体生动. 2近代定义从集合映射观点出发，描述更广泛,更具有一般性 (2)对函数定义的更深层次的思考： 映射与函数的关系:函数是一种特殊的映射:B,其特殊性体现为集合,均为非空的数集.函数:AB是特殊的映射。特殊在定义域和值域都是非空数集!据此可知函数图像与轴的垂线至多有一种公共点,但与轴垂线的公共点也许没有,也也许有任意个。小结:函数概念8个字：非空数集上的映射。函数三要素1核心相应法则等式y(x)表白，对于定义域中的任意x，在“相应法则f”的作用下,即可得到y.因此,f是使“相应”得以实现的措施和途径.是联系与y的
9、纽带,从而是函数的核心.对于比较简朴的函数,相应法则可以用一种解析式来表达,但在不少较为复杂的问题中，函数的相应法则也可以采用其她方式(如图表或图象等).2定义域定义域是自变量x的取值范畴,它是函数的一种不可缺少的构成部分,定义域不同而解析式相似的函数,应看作是两个不同的函数.在中学阶段所研究的函数一般都是可以用解析式表达的.如果没有特别阐明，函数的定义域就是指能使这个式子故意义的所有实数x的集合在实际问题中,还必须考虑自变量所代表的具体的量的容许取值范畴问题.值域值域是全体函数值所构成的集合.在一般状况下,一旦定义域和相应法则拟定,函数的值域也就随之拟定.因此,判断两个函数与否相似,只要看其
10、定义域与相应法则与否完全相似，若相似就是同一种函数，若定义域和相应法则中有一种不同，就不是同一种函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和相应法则。而值域可由定义域和相应法则唯一拟定，因此当两个函数的定义域和相应法则相似时，它们一定为同一函数。有关函数符号yf(x)1、y=f（x) 即“y是x的函数”这句话的数学表达仅仅是函数符号,不是表达“y等于f与的乘积”.f（x）也不一定是解析式2、f(x)与f(a）的区别：f(x）是x的函数,在一般状况下,它是一种变量.(a)表达自变量=a时所得的函数值，它是一种常量即是一种数值.f(a)是f(x)的一种当x=时的特殊值.如果两个函数的定义
11、域和相应法则相似虽然表达自变量的与函数的字母不相似，那么它们仍然是同一种函数,但是如果定义域与相应法则中至少有一种不相似，那么它们就不是同一种函数.例：=(x)=ax+c,，b，为常量且x0与S=g（t）=atbt+、a，b,c为相似的常量且t0则我们说这两个函数是同一种函数，对于它们的图象是一种相似的曲线.4有些函数在它的定义中,对于自变量x的不同的取值范畴,相应法则不相似,例如: x,x0yf(x)=| 0, x= 这样的函数一般称为分段函数.注意，分段函数是一种函数, -x， x0而不是几种函数2.函数的常用的表达法 （1)解析法：将两个变量的函数关系用一种等式来表达. (2)列表法：运
12、用表格来表达两个变量的函数关系. (3)图象法：用图象来表达两个变量的函数关系.3.实数集的三种表达措施:集合表达法,不等式表达法,区间表达法.这个问题实质上波及到函数的定义域与值域的表达法，而定义域的拟定和值域的拟定是函数概念中两个重要的问题.而区间的概念在函数的定义域中,显得十分重要. 设a,R且,则下列的不等式表达的实数x的集合可分别表达为:ab （1）axb表达为闭区间a，b 数轴表达为：（)axb表达为开区间（,)ab数轴表达为ab （3）ax表达为左闭右开区间 a，b 数轴表达为: (4）ab表达为右闭左开区间（a,b数轴表达为 （5)R表达为（-,）0数轴表达为整个数轴(6）xa,表达为（-,aa数轴表达为a (）x表达为 a, 数轴表达为:【精确训练】（1)已知函数,那么集合中所含元素的个数是 A.个 B. 1个
