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1、习题7-1. 原长为的弹簧，上端固定，下端挂一质量为的物体，当物体静止时，弹簧长为现将物体上推，使弹簧缩回到原长，然后放手，以放手时开始计时，取竖直向下为正向，写出振动式。（g取9.8）解：振动方程：,在本题中，所以； 振幅是物体离开平衡位置的最大距离，当弹簧升长为0.1m时为物体的平衡位置，以向下为正方向。所以如果使弹簧的初状态为原长，那么：A=0.1， 当t=0时，x=-A，那么就可以知道物体的初相位为。所以： 即 7-2. 有一单摆，摆长，小球质量.时，小球正好经过处，并以角速度向平衡位置运动。设小球的运动可看作简谐振动，试求：（g取9.8）（1）角频率、频率、周期；（2）用余弦函数形式
2、写出小球的振动式。解：振动方程： 我们只要按照题意找到对应的各项就行了。（1）角频率：，频率： ，周期：（2）根据初始条件： 可解得：所以得到振动方程：7-3. 一竖直悬挂的弹簧下端挂一物体，最初用手将物体在弹簧原长处托住，然后放手，此系统便上下振动起来，已知物体最低位置是初始位置下方处,求：（1）振动频率；（2）物体在初始位置下方处的速度大小。解：（1）由题知 2A=10cm，所以A=5cm； 又=,即（2）物体在初始位置下方处，对应着是x=3cm的位置，所以：那么此时的那么速度的大小为7-4. 一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时, 位移为，且向轴正方向运动。求：（1）振动表达式；（
3、2）时，质点的位置、速度和加速度；（3）如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：由题已知 A=12-2m，T=2.0 s =2/T= rads-1又，t=0时， 由旋转矢量图，可知：故振动方程为 (2)将t=0.5 s代入得方向指向坐标原点，即沿x轴负向(3)由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动即x=-A/2，且v0，故t=2/3，它回到平衡位置需要走/3，所以：t=/=(/3)() =1/3s7-5. 两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在 处，且向左运动时，另一个质点2在 处，且向右运动。求这两个质点的位相差。解：由旋转矢量图可知
4、：当质点1在 处，且向左运动时，相位为/3，而质点2在 处，且向右运动，相位为4/3 。所以它们的相位差为。7-6. 质量为的密度计，放在密度为的液体中。已知密度计圆管的直径为。试证明，密度计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：平衡位置： 当F浮=G时，平衡点为C处。设此时进入水中的深度为a：可知浸入水中为a处为平衡位置。 以水面作为坐标原点O，以向上为x轴，质心的位置为x，则：分析受力：不管它处在什么位置，其浸没水中的部分都可以用a-x来表示，所以力 令 可得到： 可见它是一个简谐振动。周期为：7-7. 证明图示系统的振动为简谐振动。其频率为：证明：两根弹簧的串联之后等效于一
5、根弹簧，所以仍为简谐振动（证明略），其劲度系数满足：和可得： 所以： 代入频率计算式，可得：7-8. 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？EP=当物体的动能和势能各占总能量的一半：所以：。7-9. 两个同方向的简谐振动曲线(如图所示) （1）求合振动的振幅。（2）求合振动的振动表达式。解：通过旋转矢量图做最为简单。先分析两个振动的状态：两者处于反相状态，（反相 ，）所以合成结果：振幅 振动相位判断：当；当；所以本题中，振动方程：7-10. 两个同方向，同频率的简谐振动，其合振动的振幅为，与第一个振动的位相差为 。若第一个
6、振动的振幅为。则（1）第二个振动的振幅为多少？（2）两简谐振动的位相差为多少？解：由题意可做出旋转矢量图如下由图知 =(0.173)+(0.2)-20.173.=0.01A=0.1 m设角AAO为，则A=A+A-2AAcos即cos= =0即=/2，这说明A与A间夹角为/2，即二振动的位相差为/27-11. 一摆在空中作阻尼振动，某时刻振幅为，经过后，振幅变为。问：由振幅为时起，经多长时间其振幅减为？解：根据阻尼振动的特征，振幅为 若已知，经过后，振幅变为，可得：那么当振幅减为 可求得t=21s。7-12. 某弹簧振子在真空中自由振动的周期为，现将该弹簧振子浸入水中，由于水的阻尼作用，经过每个
7、周期振幅降为原来的90%，求:（1） 求振子在水中的振动周期（2）如果开始时振幅厘米，阻尼振动从开始到振子静止求振子经过的路程为多少？ 解：（1） 有阻尼时 （2）7-13. 试画出和的李萨如图形。略，可参考书上的图形。7-14. 质点分别参与下列三组互相垂直的谐振动：（1） （2） （3） 试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频率相同，振幅相同的垂直运动的叠加。（1）则方程化为： ，轨迹为一般的椭圆。（2）则方程化为： 轨迹为一直线。（3）则方程化为： 轨迹为一圆。7-15. 在示波器的水平和垂直输入端分别加上余弦式交变电压，荧光屏上出现如图所示的李萨如图形。已知水平方向振动频率为，求
8、垂直方向的振动频率。解：通过和书上的李萨如图形想比较，可发现它满足两方向的振动频率比3：2。由水平方向振动频率为，可得垂直方向的振动频率为。思考题7-1. 试说明下列运动是不是简谐振动：（1）小球在地面上作完全弹性的上下跳动；（2）小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅度的摆动。答：要使一个系统作谐振动，必须同时满足以下三个条件：一，描述系统的各种参量，如质量、转动惯量、摆长等等在运动中保持为常量；二，系统是在自己的稳定平衡位置附近作往复运动；三，在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用或者说，若一个系统的运动微分方程能用+=0描述时，其所作的运动就是谐振动(1)拍皮球时球的运动不是谐振动第一，
9、球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置；第二，球在运动中所受的三个力：重力，地面给予的弹力，击球者给予的拍击力，都不是线性回复力 (2)小球在图所示的情况中所作的小弧度的运动，是谐振动显然，小球在运动过程中，各种参量均为常量；该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点，即系统势能最小值位置点O；而小球在运动中的回复力为-mgsin，如题4-1图(b)所示题中所述，SR，故=S/R0，所以回复力为-mg式中负号，表示回复力的方向始终与角位移的方向相反即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的若以小球为对象，则小球在以O为圆心的竖直平面内作圆周运动，由牛顿第二定律，在凹槽切线方
10、向上有mR=-mg 令=g/R,则有 =07-2. 简谐振动的速度和加速度在什么情况下是同号的?在什么情况下是异号的?加速度为正值时，振动质点的速率是否一定在增加？反之，加速度为负值时，速率是否一定在减小?答： 简谐振动的速度：v= -Asin（）；加速度：a=- A2cos（）；要使它们同号，必须使质点的振动相位在第一象限。其他象限的相位两者就是异号的。加速度为正值时，振动质点的速率不一定在增加，反之，加速度为负值时，速率也不一定在减小。只有当速度和加速度是同号时，加速度才能使速率增加；反之，两者异号时，加速度使速率减小。7-3. 分析下列表述是否正确，为什么?（1）若物体受到一个总是指向平
11、衡位置的合力，则物体必然作振动，但不一定是简谐振动；（2）简谐振动过程是能量守恒的过程，凡是能量守恒的过程就是简谐振动。答：（1）的表述是正确的，原因参考7-1；（2）的表述不正确，比如自由落体运动中能量守恒，但不是简谐振动。7-4. 用两种方法使某一弹簧振子作简谐振动。方法1：使其从平衡位置压缩，由静止开始释放。方法2：使其从平衡位置压缩2，由静止开始释放。若两次振动的周期和总能量分别用和表示，则它们满足下面那个关系？(A) (B) (C) (D) 答：根据题意，这两次弹簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。选择B。7-5. 一质点沿x轴作简谐振动，周期为T，振幅为A，质点从运动到处所需要的最短时间为多少？答：质点从运动到处所需要的最短相位变化为，所以运动的时间为：。7-6. 一弹簧振子，沿轴作振幅为的简谐振动，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，问振子处于处时；其势能的瞬时值为多少？答：由题意，在平衡位置处，弹簧振子的势能为零，系统的机械能为，所以该振子的总能量为50J，当振子处于处时；其势能的瞬时值为：。
