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1、高中数学第1章三角函数1.1.1任意角教学设计苏教版必修411.1任意角作者：杨周萍，江苏省羊尖高级中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖设计思想当今世界随着知识经济的不断发展，对人的整体素质提出了前所未有的要求，尤其是对人的主动性、创造性、批判性思维的重视超过了以往任何时代作为现代科学技术的基础和工具的数学，其修养是21世纪高科技时代人才必备的素养，调查表明年级越高，对数学学习感兴趣的学生越少，究其原因，大多是因为在数学学习中经历了太多的失败，逐步丧失学习信心数学是抽象的，难学的，数学教育要通过数学学习活动本身来提高学习的兴趣就显得更为重要所以在本课的设计中以理解学生、尊重学生为前提
2、，从学生的原认知出发，以学生熟知的生活现象创设问题情境，导入新课，发动学生，营造和谐的师生关系和课堂氛围、为学生的智慧生成留下足够的空间在教师的引导下，让学生学会用客观环境所提供的信息来加工自己的知识，完善自己的知识结构并在对问题不断地讨论和探索过程中自主地思考问题并提出问题、构建数学、应用数学、回顾反思所学，培养学生发现问题、研究问题、解决问题、应用反思的数学学习能力，学生在教师的引导下一旦投入活动，各个不同层次的学习者都会有发现和创新的机会和成果，有向同学、教师展示自己成果和才能的机会，能经常体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣，并进入良性循环，终身学习的欲望得以孕育、成长让
3、课堂教学真正成为学生终生学习的成长阶梯，真正“实现不同的人在数学学习中得到不同的发展”，特别是新课程所提出的对学生思维方法的培养，为学生进一步学习提供必要的数学准备教学内容分析本课时教学内容为引言和1.1.1任意角，是三角函数的开篇“引言”提出了本章的中心问题，它是本章知识的生长点，特别是周期现象贯穿了本章教学内容的始终，它可以帮助学生很好的探索、理解同终边角、同直线角、范围角的集合表示的抽象形式同时，周期也是三角函数的一个非常重要的性质，是把三角函数一个周期的性质推广到整个定义域的理论依据，是研究三角函数的核心概念，为学生学习、理解周期的抽象的代数定义作了一个很好的铺垫因此，笔者认为，在三角
4、函数的开篇课中，应该按照引言中所提出的对周期性的研究大纲，把周期现象这一变化规律作为教学内容的一个重要组成部分实施教学，不能一带而过或不讲，要让学生对周期现象形成初步的感性认识和理性认识，为进一步学习与周期性相关的内容和理解周期的抽象含义打下坚实的基础，起到统领全章教学的核心作用引言中所提出的“用什么样的数学模型来刻画圆上点P运动的变化规律”以及“如何表示点P”等问题在以后的教学中会自然的解决，因此，这些问题在本节课中没有必要作为重点，只是略作分析，通过用角表示圆上围绕圆心的旋转点P的实际意义的需要，自然过渡到任意角这一教学环节，这样的处理符合了新课标中提出的螺旋上升的教学原则任意角的概念是本
5、节课的重点，关于正、负角的引入，可以从实际事例(如体操中“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”)引入，这样处理比较自然，学生也能够体会到引入正、负角的必要性和它的实际意义然后再与正、负数类比，建立角度与实数一一对应的关系在讲解任意角时，要注意把即时的画图和描述相结合起来，给学生以直观，以形助数，数形结合，体会任意角的旋转运动的实际意义把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来，是本节课的一个难点，理解终边相同的角的意义，是学好这一小节的关键，同时这一知识也是同直线角、范围角以及诱导公式等知识的生长点因此，这一环节的教学，要引导学生结合周期现象通过对足够的特例进行观察、分析、研究最终探索一般的知
6、识规律“同终边角相差周期360的整数倍”，并及时地让学生去运用这一数学知识，使学生强化理解知识，为后续学习铺路问题与例题的设计给学生留下了比较多的思维空间，通过设疑来激发学生的思维，教师要让学生体会从具体到抽象，从特殊到一般，逐步归纳的思考方法；体会转化、分类讨论、数形结合等数学解题思想教学目标分析1初步理解周期现象的含义2使学生理解用“旋转”定义的任意角的概念3理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义，是本节的教学重点1学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角2掌握所有与角终边相同的角(包括角)的集合的表示方法，是本节的教学难点3能在0到360范围内，找出一个与已知角终边相
7、同的角，并能判定其为第几象限角4学会用“特殊到一般、具体到抽象”研究问题的学习方法，体会分类讨论等数学思想通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化的观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求(一)引言流程：(创设问题情境探索发现规律揭示数学本质)问题情境：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？师生合作：讨论分析，探索发现规律问题1：同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？问题2：你们能再举例说明周期现象吗？问题3：
8、数学问题中有这样的周期现象吗？小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”设计意图：创设生活情境，符合学生实际，有利于营造和谐的、活跃的氛围，激发学生学习的兴趣；有利于学生“从无到有”的创造性的探索、发现知识的规律，揭示实际问题的数学本质使学生充分地认识和理解周期现象，有利于学生对整章的学习，起到了关键性的作用 (二)任意角的概念流程：(创设问题情境合作探究建构数学)问题情境：如图1，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？图1问题3：在体操运动中有“翻腾两周半”这
9、样的动作名称，这里的“翻腾两周半”表示什么呢？问题4：“向前翻腾两周半”“向后翻腾两周半”又分别如何用角度来表示呢？小结：一般情况下，把向前、向上、向右、逆时针的方向规定为正方向，相反则为负方向(此时，我们头脑中的角度也不再是0到360之间的角了，角度的范围随着实际的应用开始推广到了任意角)任意角包括正角、负角、零角(学生描述三种角的定义，老师板书并分别画图演示)任意角和实数可以建立一一对应的关系设计意图：创设问题情境，自然过渡，从学生已有的认知出发，暴露学生的“思维定势”，引导学生质疑、批判的去思考问题，以形象的生活实际，引入正、负角的概念，有利于学生理解和接受新知识；有利于学生自觉地、创造
10、性地去研究数学、构建数学(三)同终边角的集合表示流程：(创设问题情境自主探究建构数学)师：为了便于研究，今后我们常以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角(画图分析说明)问题：300，150，60，60，210，300，420，180，540，900，900角分别是第几象限角？其中哪些角的终边是相同的？探究题组：(1)终边相同的角是否相等？不同角的终边是否不同？(2)相同终边的角彼此之间有什么关系？(3)你能写出与60角终边相同的角的集合吗？(4)求与角终边相同的角的集合小结：一般地，与角终边相同的角的集合为|k360
11、，kZ(与相差周期的整数倍)作用：可以把不在0到360范围内的角转化为0到360范围内的角设计意图：创设问题情境，从特殊到一般，从具体到抽象，有利于学生探究问题、发现问题、归纳问题的一般规律，培养学生探究学习数学的方法和能力；有利于学生深刻地理解同终边角集合的抽象的表示形式(四)数学应用流程：(问题情境自主实践合作交流疑难点拨解题回顾)例1在0到360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：(1)650；(2)150；(3)99015.示范(1)：方法一：因为650360290，所以650的角与290的角终边相同，是第四象限角方法二：表示与650同终边角的集合，对k取
12、值验证方法三：表示与650同终边角的集合，解不等式求k的值(2)、(3)略例2已知与240角的终边相同，判断是第几象限角方法一：分类讨论，化为同终边的角判断方法二：利用周期性，数形结合画出终边判断设计意图：创设问题情境，通过解题示范，增强学生的解题规范意识，树立学习数学的科学态度；通过一题多解的解题方法，渗透数学思想方法，提高学生的解题能力，揭示数学问题的本质规律(五)回顾反思(1)知识要点回顾：周期现象；任意角；同终边角的集合表示；象限的判断(2)思想方法回顾：探索研究问题的一般思想方法(一般到特殊)特殊到一般；判断象限时转化思想；分类讨论、数形结合的数学思想的运用；周期应用(3)反思存在的
13、问题(由学生提出疑问或问题改进的办法)(4)补充说明：(教师：一般情况下我们还可以用弧长，半径以及方向来刻化圆上点P运动的变化规律)设计意图：让学生谈学习体会，反思所学，反馈课堂教学信息，使学生的学习得到进一步的升华，从而提高课堂教学的效率(六)课后拓展(1)终边落在x轴上的角的集合如何表示？终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？(2)终边落在第一象限的角的集合如何表示？(3)若是第三象限角，则是第几象限角？(七)作业布置(略)附录(教学实录两个片段)(一)引言(教学过程实录)流程：(创设问题情境探索发现规律揭示数学本质)师：大家知道我每个星期的这一天的同一时间都要来高一7班做一件什么事吗？生：
14、议论但没有回答师：答案就是：给你们上数学课(学生笑)你们知道这一个很平常的生活现象表明了一个什么规律吗？生：周期师：你们能用一个数字来刻化这个规律并说明你的理由吗？生：四，因为今天是星期四师：那么，这一现象的周期是“四”对吗？(学生思考)生：应该是“7”，因为老师要每隔“7”天才会再次在今天的同一时间上课师：还有其他数字吗？(学生一起答道“14”)好，同学们能不能用自己的语言来描述一下什么叫周期呢？生：每隔相同时间重复相同事情的现象(教师引导：我们把这种现象称为周期现象，那么周期是什么呢？学生齐答：间隔的时间教师引导：我们把7就叫做这一现象的一个周期)师：好，你们能再举例说明周期现象吗？生：每
15、天太阳早上升起，傍晚降落；年复一年，春夏秋冬四个季节；潮起潮落师：数学问题中有这样的周期现象吗？生：循环小数如0.；圆上的一点绕圆心旋转师：如图2，点P是半径为r的圆O上一点，点P的运动可以形象地描述为“周而复始”那么点P运动的一个周期是什么？图2生：点P运动的一个周期是360.小结：我们把这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象这种现象一般与周期运动有关，一个简单又基本的数学周期现象便是“圆周上一点的运动”(二)任意角的概念(教学过程实录)流程：(创设问题情境合作探究建构数学)师：如图3，若点P从水平位置绕圆心O逆时针旋转一周半，点P的变化规律用数学方法如何刻画呢？图3生：建立直角坐标系，用坐标(x，y)表示师：还可以用什么刻画呢？生：角度师：用多少度来表示呢？生甲：180师：为什么？生甲：因为点P绕圆心O旋转一周半后终边与始边形成了一
