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1、无穷等比数列各项的和之教学初探高行中学 徐静教材中，无穷等比数列各项的和安排在等比数列的前n项和与极限的概念之后。利用极限将“等比数列的有限项求和”转化为“等比数列的无限项求和”,从而得到无穷等比数列各项的和。体现了从有限认识无限、从近似认识精确的极限思想以及由旧知推导新知的数学思想方法。本课教学设计注重问题情景的创设，并试图利用对问题的分析，推导无穷等比数列的各项和的公式。让学生体验概念的形成过程，从而深刻地体会极限的数学思想，牢固掌握无穷等比数列各项的和。1、创设问题情景问题提出后，学生陷入了深思。绝大多数同学觉得困难。于是设计演示实验让学生观察上述无穷等比数列求和的含义。（点击思维导图引
2、入演示实验：） 此问题情景的创设源于教材“一尺之锤，日取其半，万世不竭”的等比数列的举例，若考虑简单将此例中的数据相加，则学生在思考时会遇到一定困难，不能那么显然地预见和为1。而教材上的钟摆情景导入计算繁琐可能会造成因计算量而忽视了分析问题的思维过程。不利于下面的深入研究公式的推导。于是设计将教材中倒水的实验演变为涂色演示。这样的操作将整个过程可视化，让学生能顺利的猜想此无穷等比数列的和为1，使其体验成就感，从而激发其深入探究的兴趣。问题2：你们能否用已经学过的知识来帮助老师正确的求出上述无穷等比数列的和呢？（教师适当点拨：1、当我们遇到无法解决的未知问题时，我们应该将问题化归为我们熟悉的问题
3、；2、我们学过等比数列的求和问题吗？我们以前学的是有限项的等比数列求和。）通过点拨，学生可以顺利地想到求出数列的前n项和通过等比数列前n项和的运算将学生的注意重心转移到本堂课的重心上来，从学生熟悉的方向入手加深学生的学习兴趣，增强学生自主的探究意识。体现从有限到无限的知识发生，发展的过程。【提出问题3】如何将有限的前n项和转化为无穷项的和？根据学生的实际情况，将教材的内容作了相应的重组，让学生在一个熟悉的概念上尝试用学过的知识去分析问题，降低学生的上手难度，让学生获得成功的体验。同时通过分类讨论，让学生养成数学思维的严密性。【提出问题4】我们能否运用我们刚才的方法来推导出无穷等比数列的求和公式
4、呢？（进入本节课的正题）2、 无穷等比数列求和公式的推导提出问题：已知首项为，公比为的无穷等比数列，求：当时，,不存在。当时，再次讨论极限存在的条件。得出结论：我们把的无穷等比数列的前n项和当时的极限叫做无穷等比数列的各项的和，并用符号表示，即注意：公式的导出给我们解决相关问题带来了极大的便利性，但是我们运用公式时，一定要注意公式运用的条件：）由于学生层次与能力有所不同，有学生可能会提出的问题。这样的分析作为一种课堂教学的预设也有一定的必要。3、 实际运用例1：化下列循环小数为分数：公式的正向使用，是掌握公式的基本。（1）；（2）由学生自己解决问题，教师给予适当提示。例2：若无穷等比数列各项和是4，各项的平方和是6，求该等比数列各项的立方和。公式的逆向使用，是掌握公式的关键。分析解答：设该数列的首项为，公比为 各项的立方和：例3：首项为，公比为的无穷等比数列的各项和为，求：的取值范围。分析：（公式的正反两方面使用才能使我们的学生做到对知识的真正掌握）突出公式的使用条件：4、教学设计思路1、 了解了无穷等比数列各项和的含义；2、 掌握无穷等比数列各项和的计算公式；3、 学会了求等比数列的各项和；4、 会用无穷等比数列各项和公式来解决一些具体问题；5、感悟用有限来刻画无限的无限魅力，深刻体会了有限和无限的区别和联系。
