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1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)当x 0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()23(A)x o(x ) o(x )23(B)o(x) o(x ) o(x )(C) o(x2) o(x2) o(x2)(D) o(x) o(x2) o(x2)(2)函数f(x) 凶1一 的可去间断点的个数为()x(x 1)ln | x|(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3(3)设 Dk 是圆域 D (x,y)|x2 y2 1位于第 k
2、 象限的部分，记 1k (y x)dxdy k 1,2,3,4 ,Dk则()(A) I10(B) I2 0(C) I30(D) I4 0(4)设an为正项数列，下列选项正确的是()(A)若 an an1,则(1)n1an 收敛 n 1(B)若(1)n 1an 收敛，则 anan 1(C)若 an收敛，则存在常数n 1P1,使 limnPan 存在n(D)若存在常数P 1 ,使limnnPan存在，贝Uan收敛1(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB C,则B可逆，则(A)矩阵C的行向量组与矩阵 (B)矩阵C的列向量组与矩阵 (C)矩阵C的行向量组与矩阵 (D)矩阵C的行向量组与矩阵1a1
3、2(6)矩阵aba与01 a10(A) a 0,b 2A的行向量组等价A的列向量组等价B的行向量组等价B的列向量组等价0 0b 0相似的充分必要条件为0 0(B) a0,b为任意常数(C) a 2,b 0(D) a 2,b为任意常数(7)设X1，X2, X3是随机变量，且_ _ 2_ 2X1N(0,1) , X2N(0,2 ) , X3 N(5,3 ),)PjP 2 Xj 2( j 1,2,3)，则()(A) PiP2E(B) P2RE(C) P3RB则 PX Y 2(A)(B)(C)(D)112181612二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸,指定位置上.(9)
4、设曲线yf (x)和 y x2x在点(0,1)处有公共的切线，则lim nf n n 2(10)z(x, y)由方程,、xz(z y) xy确定，则x(1,2)(11)求上1 (1(12)微分方程1y y -y 0通解为y 4(13 )设 A(aij )是阶非零矩阵，| A |为a的行列式，Aj为aj的代数余子式ay Aj 0(i,j1,2,3)，则| A(14)设随机变量X服从标准正态分布 XN(0,1)，则E(Xe2X) =。三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸,指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.(15)(本题满分10分)当x 0时，1 cosx co
5、s2x cos3x与axn为等价无穷小，求 n与a的值。(16)(本题满分10分)1设D是由曲线y x3,直线x a(a 0)及x轴所围成的平面图形，Vx,Vy分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy 10Vx，求a的值。(17)(本题满分10分)设平面内区域 D由直线x 3y, y 3x及x y 8围成.计算 x2dxdy。 D(18)(本题满分10分)设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为P 60 -Q- ,(P是单价，单位:1000元，Q是销量，单位：件)，已知产销平衡，求：(1)该商品的边际利润。(2)当P=50时的边际利润，并解释其经济意义
6、。(3)使得利润最大的定价 P。(19)(本题满分10分)设函数f(x)在0,上可导，f(0) 0且lim f (x) 2,证明x(1)存在a 0,使得f(a) 11对(1)中的a,存在 (0, a),使得f()-. a(20)(本题满分11分)C使得AC CAB ,并求所有矩阵C 。1 a0 1,_设AB,当a,b为何值时，存在矩阵1 01 b(21)(本题满分11分)设二次型 f x1, x2, x32 a1x1a?x223x3biX2b2x2b3x3,记a1a2bib2 。a3(I)证明二次型f对应的矢I阵为2 T(II)若正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2
7、y2y2。(22)(本题满分11分)设X，Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为fx X3x2, 0x1,0, 其他.在给定x条件下，丫的条件概率密度fY|x yx3y23x0,0 y x,其他.(1) 求X,Y的概率密度f x,y ； 丫的边缘概率密度fY y . (23)(本题满分11分)2_e x x 0 , 设总体X的概率密度为fxx3e , x 其中 为未知参数且大于零，X1,X2,L XN为来自总体0, 其它.X的简单随机样本.(1)求的矩估计量；(2)求的最大似然估计量.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四
8、个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)当x 0时，用o(x)表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是()23(A)x o(x ) o(x )23(B)o(x) o(x ) o(x )(C) o(x2) o(x2) o(x2)(D) o(x) o(x2) o(x2)【答案】D【解析】o(x) o(x2) o(x),故D错误。(2)函数 f (x)凶一1一 的可去间断点的个数为(x(x 1)ln|x|(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3【答案】C【解析】由题意可知 f(x)的间断点为0, 1。又lim f (x)x 0limx 0xx 1x(x 1
9、)ln xlimx 0xln xe 1x(x 1)ln xxln xlim x 0 x(x 1)ln xlim f (x)x 0limx 0(x)x 1x(x 1)ln( x)xln( x) .lim x 0 x(x 1)ln( x). xln( x) , lim 1x 0 x(x 1)ln( x)lim f (x)x 1lxm1xx 1x(x 1) ln xlim1xln xe 1x(x 1)ln xxln xlimx 1 x(x 1)ln x如1f (x)xim1(x)x 1x(x 1)ln( x)exln( x) 1lim x 1 x(x 1)ln( x)xim1xln( x)x(x 1
10、)ln( x)故f (x)的可去间断点有2个。(3)设 Dk是圆域 D (x, y)|x2则()(A) I10(B) I20(C) I30(D) I4 0【答案】B【解析】令x r cos , y r sin11k (y x)dxdyrdrDk故当k 2时， 一， 2(4)设an为正项数列，2y2 1位于第k象限的部分，记,则有，.、，1，(rsinr cos )d - (cos，,2时有I 2 -0.故正确答案选Bo3E确的是()Ik (y x)dxdy k 1,2,3,4 ,Dksin )(A)若an an1，则(1)n1an 收敛n 1(B)若(1)n 1an 收敛，则 an an 1
11、n 1(C)若 an收敛，则存在常数 P 1,使limnPan存在 nnnn 1(D)若存在常数P 1 ,使lim nPan存在，则an收敛nn 1【答案】D 11【解析】根据正项级数的比较判别法，当 P 1时， ,收敛，且lim nPan存在，则an与 同pnpn 1 nn 1 n 1 n敛散，故an收敛.n 1(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB C ,且C可逆，则()(A)矩阵C的行向量组与矩阵 A的行向量组等价(B)矩阵C的列向量组与矩阵 A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵 B的行向量组等价 （D）矩阵C的行向量组与矩阵 B的列向量组等价 【答案】（B） 【解析】由C
12、 AB可知C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又 B可逆，故有 A CB 1 ,从而A的列向量组也可以由C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B)。1a12(6)矩阵aba与01a100 0b 0相似的充分必要条件为0 0(A) a 0,b 2（B） a0,b为任意常数(C) a 2,b 0(D) a 2,b为任意常数【答案】（B）【解析】由于aba为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而00相似的0充分必要条件为1 a 1aba的特征值为2,b,0。1 a 1a 1b a (b)(2) 2a2,从而a0,b为任意常数a 1、一_ _ 22 设 X1, X2, X3
13、是随机变量，且 X1N(0,1), X2N(0,2 ) , X3 N(5,3 ),巳 P 2 Xj 2( j 1,2,3)，则()(A) RP2P3(B) P2RR(C)P3RP2(D)RP3P2【答案】（A）【解析】由 Xi : N 0,1 ,X2 :N 0,22 ,X35,32 知,P1PX1 2P X1P2PX2 2P X21,故 P1P2 .N 5,32PiP2 P3,故选(A)的概率分布分别为,X0123-101P12A8工3P31313由根据X3 :及概率密度的对称性知,(8)设随机变量 X和Y相互独立，则 X和Y则 PX Y2()(A)(B)(C)(D)112181 61(C)1,Y 1P X 2,Y
