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1、3.2.1 古典概型一、教材内容与内容解析教材分析：本节课是普通高中课程标准实验教科书数学（必修3）第三章概率的第二节古典概型的第一课时，内容安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，它的引入避免了大量的重复试验，而且得到的是概率精确值。同时古典概型也是后面学习条件概型的基础，起到承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。内容分析：本节课学生将感知认识与理性认识相结合，并且利用生活中大量实例来归纳总结相关数学概念。能用系统的眼光看待以前已经接触的知识，通过本节课的探究确定古典概型的定义及计算公式，
2、所以本节课对学生构建数学模型能力和方法有所提升。二、学情分析 （1）学生是在初中学过概率的基础上进一步学习的，并且是在学习完统计后来学习本节课的内容。（2）所教学生大部分学生基础差，学生的理解能力、运算能力、思维能力等方面有待发展与提高，在设置例题的同时略增加变式。三、教学目标1.知识与技能：掌握基本事件的概念；正确理解古典概型的两个特点：并能归纳总结出古典概型的概率计算公式。2过程与方法：（1）通过模拟试验让学生理解古典概型的特征。（2）试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性，观察类比各个试验，归纳总结古典概型的概率计算公式，体现了化归的重要思想。（3）会用列举法计算一些随机事件所含
3、的基本事件数及事件发生的概率, 渗透数形结合、分类讨论的思想方法。（4）使学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型,关键是要使该问题是否满足古典概型的两个条件，培养学生分析问题、解决问题的能力。3.情感态度与价值观：（1）通过本节课的引入，使学生体会到数学源于生活而又高于生活，从而激发学生的学习兴趣；（2）通过实例变式，让学生体会化归思想，并且使学生清楚地认识到数学是以不变应万变。树立学生从具体到抽象，从特殊到一般的辩证唯物主义的观点，培养学生用随机的观点来理性认识世界。四、教学重点：理解并掌握古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。五、教学难点：判断一个试验是不是古典概型，分清在一个
4、古典概型中某随机事件包含的基本事件个数和试验中基本事件的总数。六、教学问题诊断分析及难点突破在例1教学中，求古典概型中基本事件总数是难点，原因是由于前面没有学习排列组合知识，此时教师可引导学生用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学生在列举的时候作到不重不漏，解决了这一难点。在本节课例2的教学中，学生往往不会讨论这个问题该在什么情况下可以看成古典概型，在例3的教学中，学生给出的答案可能会有两种，原因是有些问题中的每个基本事件不是等可能的。因此古典概型的教学应让学生通过实例验证该试验是否满足古典概型的两个条件，这也是本节课的教学难点。七、教法学法分析教法方面：
5、教师在课堂教学过程中，根据学生的实际水平，恰时恰点的提出问题，设置合理、有效的教学情境，让每一位学生参与课堂讨论，提供学生思考讨论的时间与空间。学法方面：学生之间的讨论与师生之间的交流是获取知识、提高能力最直接的途径。学生在教师的引导下，合作学习，探讨交流，提出疑点，提高能力，完善知识结构。八、教学过程设计1.创设情境，引入新课有一本好书，两位同学都想看，在不透明的难子里放4个大小相同的球，标号为1、2、3、4，充分搅拌后随机摸取一个球，摸到标号为偶数的甲先看，摸到标号为奇数的乙先看，而乙同学提议掷骰子：3点以下甲先看，3点以上乙先看，这两种方法是否公平？【设计意图】：游戏的公平性反映概率大小
6、问题，激发学生对概率大小问题感兴趣，进而进入本堂课的主题。给出本节学习目标：明确学习目标：结合一些具体实例，让学生理解并掌握古典概型的两个特征及其概率计算公式，培养学生观察比较、归纳问题的能力。会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率, 渗透数形结合、分类讨论的思想方法。使学生初步学会把一些实际问题转化为古典概型,关键是要使该问题是否满足古典概型的两个条件，培养学生分析问题、解决问题的能力。2. 提出问题下面我们一起分组来完成两个试验（第1、2小组完成试验一，第3、4小组完成试验二，教师向各小组分发准备好的若干枚质地均匀的硬币或若干枚质地均匀的骰子）：【投影】试验一：抛掷一枚
7、质地均匀的硬币，至少完成20次，且分别记录“正面朝上”和“反面朝上”的次数。试验二：抛掷一枚质地均匀的骰子，至少完成20次，且分别记录“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”的次数。然后教师抽各小组的代表汇报自己的试验方法与结果，最后教师进行汇总，并提出以下问题。问题1：用模拟试验的方法来求某一随机事件的概率好不好？为什么？生：不好，要求出某一随机事件的概率，需要进行大量的试验，并且求出来的结果是频率，而不是概率。问题2:根据上述情况,你能发现它们有什么共同特点？【设计意图】通过课堂中的两个数学模拟试验，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也
8、符合学生的认知规律。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，使课堂的有效思维增加。 3.抽象思维 形成概念问题1：在试验一和试验二中随机事件分别有多少个？各随机事件间有什么关系？生：在试验一中随机事件只有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”，并且它们都是互斥的。在试验二中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”，并且它们也都是互斥的。师：我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。问题2：那基本事件有什么特点呢？（让学生交流讨论，教师再加以总结、概括）基本事件有如下两个特点：（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都
9、可以表示成基本事件的和。问题3：在试验一中，必然事件由哪些基本事件组成？在试验二中，随机事件“出现奇数点”由哪些基本事件组成？【设计意图】让学生从问题的相同点和不同点中找出研究对象的对立统一面，这能培养学生分析问题，归纳问题的能力。例1 从字母中任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？师：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序，把所有可能的结果写出来，本小题我们可以按照字母排序的顺序，用列举法列出所有基本事件的结果。解：所求的基本事件共有6个：， ， ， ， ， 【设计意图】由于前面学生没有学习排列组合知识，因此用列举法列举基本事件的个数，不仅能让学生直观的感受到对象的总数，而且还能使学
10、生在列举的时候作到不重不漏，解决了求古典概型中基本事件总数这一难点，同时渗透了数形结合及分类讨论的数学思想。问题：你能发现前面两个试验和例1有哪些共同特点吗？（先让学生交流讨论，然后教师抽学生回答，并在学生回答的基础上再进行补充）学生1：试验一中所有可能出现的基本事件有“正面朝上”和“反面朝上”2个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；学生2：试验二中所有可能出现的基本事件有“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”6个，并且每个基本事件出现的可能性相等，都是；学生3：例1中所有可能出现的基本事件有“A”、“B”、“C”、“D”、“E”和“F”6个，并且每个基本事件出现的可
11、能性相等，都是；经概括总结后得到：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。【设计意图】学生在合作交流的探究氛围中思考、质疑、倾听、表述，体验到成功的喜悦，学会学习、学会合作，充分体现了数学的化归思想。启发诱导的同时，训练了学生观察和概括归纳问题的能力。3概念深化【投影】（1）向一个圆面内随机地投射一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，你认为这是古典概型吗?为什么？ 生：不是古典概型，因为试验的所有可能结果是圆面内所有的点，试验的所有可能结果数是无限的，虽然每一个试验结果出现的“可能性相同”，但这
12、个试验不满足古典概型的第一个条件。【投影】（2）如图，某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环命中5环和不中环。你认为这是古典概型吗？为什么？生：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件。【设计意图】这两个问题的设计是为了让学生更加准确的把握古典概型的两个特点，突破了如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点，培养学生思维的深刻性与批判性。4、观察比较 推导公式问题：在古典概型下，前面两个数学模拟试验和例1中基本事件出现的概率分别是多少？随机事件出现的概率如何计算？（
13、让学生讨论、思考交流）学生1：试验一中，出现正面朝上的概率与反面朝上的概率相等，即P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）由概率的加法公式，得P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）P（必然事件）1因此 P（“正面朝上”）P（“反面朝上”）即 学生2：试验二中，出现各个点的概率相等，即P（“1点”）P（“2点”）P（“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”）由概率的加法公式，得P（“1点”）P（“2点”）P（“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”）P（必然事件）1因此P（“1点”）P（“2点”）P（“3点”）P（“4点”）P（“5点”）P（“6点”）进一步地，利用加法公式还可以计
14、算这个试验中任何一个事件的概率，例如，P（“出现奇数点”）P（“1点”）P（“3点”）P（“5点”） 追问：根据上述两个模拟试验，你能概括总结出，古典概型计算任何事件的概率计算公式吗？学生：【设计意图】学生通过运用观察、比较方法得出古典概型的概率计算公式，体验数学知识形成的发生与发展的过程，体现具体到抽象、从特殊到一般的数学思想，同时让学生感受数学化归思想的优越性和这一做法的合理性。强调：我们在使用古典概型的概率公式时，应该还要注意些什么呢?（先让学生自由说，教师再加以归纳）在使用古典概型的概率公式时，应该注意：要判断该概率模型是不是古典概型；要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事
15、件的总数。【设计意图】深化对古典概型的概率计算公式的理解，也抓住了解决古典概型的概率计算的关键。5、应用与提高例2 单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A，B，C，D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择惟一正确的答案。假设考生不会做，他随机的选择一个答案，问他答对的概率是多少？师：如果考生掌握或者掌握了部分考查内容，它是古典概型的问题吗？为什么？生：因为它不满足古典概型的第2个条件等可能性。师：那么在什么情况下，该问题可以化为古典概型呢？生：只有在假定考生不会做的情况下，才可以看成古典概型。师：说得很好。运用古典概型解决问题时，两个条件缺一不可，即要满足有限性和等可能性。解：这是一个古典概型，因为试验的可能结果只有4个：选择A、选择B、选择C、选择D，即基本事件共有4个，考生随机地选择一个答案是选择A，B，C，D的可能性是相等的。从而由古典概型的概率计算公式得：探究：在标准化考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案，同学们可能有一种感觉，如果不知道正确答案，多选题更难猜对，这是为什么？（教师引导学生考虑基本事件个数）【设计意图】让学生明确解决概率的计算问题
