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1、2012年现代控制理论考试试卷一、（10分，每小题 1分）试判断以下结论的正确性， 若结论是正确的，（ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。（ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。（ ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。（ ）4. 对线性定常系统 x Ax ，其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩阵 A的特征值都具有负实部是一致的。（ ）5. 一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。（ ）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；（ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构
2、特性，与系统的输入和输出无关；（ ）8.若传递函数 G( s)C (sIA) 1 B 存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；（ ）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；（ ）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。二、已知下图电路，以电源电压 u(t) 为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 R2上的电压为输出量的输出方程。（10 分）解：（1）由电路原理得：di L1R11udt1 iL1ucLLL111di L2R1ucdt2 iL2L2L2duc11iL2dtiL1ccuR2R
3、2iL2R1011i LLLi L1111L1R21i L0i L0 uL2L2220uc11uc0cciL1uR20R2 0 iL2uc二（10 分）图为 R-L-C 电路，设 u 为控制量，电感 L 上的支路电流和电容 C上的电压 x2 为状态变量，电容 C上的电压 x2 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。解：此电路没有纯电容回路， 也没有纯电感电路， 因有两个储能元件，故有独立变量。以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：i L x1 ,uc x2，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：R2 C x2 x2 L x1 0R1 (x1C x2 ) L x1
4、 u 0从上述两式可解出x1 ， x2 ，即可得到状态空间表达式如下：R1R2R1R2x1( R1R2 )L( R1R2 )Lx1( R1R2)LR11x2ux21( R1R2 )C( R1R2 )C( R1R2 )Cy101x10R1 R2R1R2uy2=R1R2R1 R2x2 + R1R2三、（每小题 10 分共 40 分）基础题（1）试求 y3y2 yuu 的一个对角规范型的最小实现。 （10 分）Y (s)32s 1)2s1(s 1)(sss 1111 4分U ( s) s3s 2)3s 2 ( s 1)(s2s2s 2s 2 s 1不妨令X1( s)1 ， X 2 (s)1U (s)
5、s 2U (s)s 1于是有 2 分x12x1ux2x2u又 Y(s)1X1 (s) X 2 (s)，所以 Y( s) U (s)X1( s) X 2 ( s) ，即有U (s)U (s) U (s)y u x1 x2 2 分最终的对角规范型实现为x12x1ux2x2uyx1x2u则系统的一个最小实现为：201x1xu, y 1 1 x + u 2 分01011（2）已知系统 x3xu, y 1 2 x ，写出其对偶系统， 判断22该系统的能控性及其对偶系统的能观性。（10 分）解答：x021ux132 2分y12 x 2分rankU C rank bAb562,系统状态完全能控3分rank3
6、2则对偶系统能观3分（3）设系统为1011x t2x tu t , x(0)011试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10 分）。解e t0te 2t0 . . .3分x(t )tx(0)tt Bu( )d分0 . . . .3e t01t e t01d0e2t100e2 t1. .2分e ttetde2 t02 te. . . .1分e t1 e t1=11e 2t= 1e2te 2 t1 .1 分22111（ 4）已知系统 x0xu 试将其化为能控标准型。 （10 分）01解： uc12101. .2 分10， uc1122p1 0 1 uc101110 1 1. .1分12222p2
7、p1A112211P22,P111221111. .1分002211. .2 分11010.4 分能控标准型为 x1xu01四、设系统为x11 100x11x1x201 00x20x2x3003 0x3u,y 0 1 4 05x3x40004 x40x4试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10 分）解：能控性分解：x13000x15x20-1 10x21（ 分）x300-10x3u,40x40004x40x1y401x20x3x4能观测性分解：x13000x15x20-1 00x20（ 分）x301-10x3u,41x4000-4x40x1y410x20x3x44520(2分)传递函数为 g(s)3s 3s五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统01xx 的稳定性。（1011分）方法一：解：x1x2x2x1 x2原点 xe =0 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即v( x)x12x220v( x) 2x1 x1 2 x2 x22x1 x22
