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1、谈谈拉格朗日中值定理的证明引言众所周至拉格朗日中值定理是几个中值定理中最重要的一个，是微分学 应用的桥梁，在高等数学的一些理论推导中起着很重要的作用.研究拉格朗日中 值定理的证明方法，力求正确地理解和掌握它，是十分必要的.拉格朗日中值定 理证明的关键在于引入适当的辅助函数.实际上，能用来证明拉格朗日中值定理 的辅助函数有无数个，因此如果以引入辅助函数的个数来计算，证明拉格朗日中 值定理的方法可以说有无数个.但事实上若从思想方法上分，我们仅发现五种引 入辅助函数的方法.首先对罗尔中值定理拉格朗日中值定理及其几何意义作一 概述.1罗尔（Rolle ）中值定理如果函数f G）满足条件：G）在闭区间a
2、,b上连续；（2）在开区间（a,b）内可导；（3） f（a）= fG），则在（a,b）内至少存在一点匚，使得f）=0罗尔中值定理的几何意义：如果连续光滑曲线y = f （x）在点A,B处的纵坐标 相等，那么，在弓瓜 康 上至少有一点C（匚,f （匚），曲线在C点的切线平行于x 轴，如图1，注意 定理中三个条件缺少其中任何一个，定理的结论将不一定成立；但不 能认为定理条件不全具备，就一定不存在属于（a,b）的匚，使得f）=0.这就是 说定理的条件是充分的，但非必要的.2拉格朗日（lagrange）中值定理若函数f G)满足如下条件：G)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内 可导；则在
3、(a,b)内至少存在一点匚，使fC)= fG)_f()b - a拉格朗日中值定理的几何意义：函数y = f G)在区间a,b上的图形是连续光滑曲线孤 而上至少有一点。，曲线在C点的切线平行于弦AB.如图2，从拉格朗日中值定理的条件与结论可见，若f (x)在闭区间a,b两端点的函 数值相等，即f(a)= f G)，则拉格朗日中值定理就是罗尔中值定理.换句话说， 罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形.正因为如此，我们只须对函 数f G)作适当变形，便可借助罗尔中值定理导出拉格朗日中值定理.3证明拉格朗日中值定理3.1教材证法证明 作辅助函数 F (x )= f (x)-f) xb - a显
4、然，函数F(x)满足在闭区间,b上连续，在开区间(a,b)内可导，而且 F(a)= F(b).于是由罗尔中值定理知道，至少存在一点 匚(a J b)，使 F ()=f)-f(b )- f(a ) = 0.即f，(Q)= f(b )- f(a ).b - ab - a3.2用作差法引入辅助函数法证明 作辅助函数 中G)= f (x)- f (a )+ f b -(x a )_b - a_显然，函数M)在闭区间la,b上连续，在开区间(a,b)内可导，中(a)*G)= 0， 因此，由罗尔中值定理得，至少存在一点匚6侦b)，使得 p()=f。-fG)-f()=0，即 f C)= fG)-f()b-a
5、b-a推广1如图3过原点。作OT AB，由f (x)与直线OT对应的函数之差 构成辅助函数中C)，因为直线OT的斜率与直线AB的斜率相同，即有：K =K = g） 凡）,0T的直线方程为：y =fQ x ,于是引入的辅or abb ab a助函数为：p ）=入）_川）-凡）n （证明略）b-a推广2如图4过点Gz,O）作直线AB / AB ,直线AB的方程为：y = /G）由f（x）与直线函AB数之差构成辅助函数cpG）,于是有:b _ a-a）.（证明略）b-a推广3 如图5过点作G,0）直线AB / AB ,直AB线的方程为图5B3尸也乩顼,由/Q与直线AR b-a函数之差构成辅助函数（p
6、（x）,于是有：b-a事实上，可过y轴上任已知点（9,农）作A/B/ / AB 得直线为 y = /G）_x + m , b-a从而利用f（X）与直线的A B函数之差构成满足罗尔中值定理的辅助函数cpG）都可以 用来证明拉格朗日中值定理.因m是任意实数，显然，这样的辅助函数有无多个.3.3用对称法引入辅助函数法在第二种方法中引入的无数个辅助函数中关于x轴的对称函数也有无数个， 显然这些函数也都可以用来证明拉格朗日中值定理.从几何意义上看，上面的辅助函数是用曲线函数f G)减去直线函数，反过来，用直线函数减曲线函数f G),即可得与之对称的辅助函数如下: 中)=f (a)+ f G)- f )(
7、x - a)! -f (x)/ b - a_甲(x)= f(bb)- f(a)x - f (x),(x)= f G)_ f ()(x - a)- f (x) 中(x)= f 估- f ()(x - b)- f (x)b 一 a等等.这类能用来证明拉格朗日中值定理的辅助函数显然也有无数个.这里仅以 为例给出拉格朗日中值定理的证明.证明 显然，函数中G)满足条件：。在闭区间a,对上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3)(a)=中。)=麻)-场().由罗尔中值定理知，至少存在一点 b - a次(a,b)，使得 p。= f (b)- f (a)- f 0= 0，从而有f C)=f G)- f (
8、)，显 b-ab-a然可用其它辅助函数作类似的证明.3.4转轴法由拉格朗日中值定理的几何图形可以看出，若把坐标系xoy逆时针旋转适当 的角度a，得新直角坐标系XOY，若0乂平行于弦AB，则在新的坐标系下f (x) 满足罗尔中值定理，由此得拉格朗日中值定理的证明.证明 作转轴变换x = X cosa - Y sin a，y = X sin a + Y cos a，为求出a，解出X,Y得=x cos a + y sin a=x cos a + f (x)sin a = X (x)Y = 一x sin a + y cos a=一x sin a + f (x)cos a = Y(x)由 Y (a )=
9、 Y (b )得一 a sin a + f (a)cos a = -b sin a + f (b)cos a从而tan a = f G )- f ()，取a满足上式即可.由f (x)在闭区间侦b上连续，在开区间 b 一 a(a,b)内可导，知YG)在闭区间侦b上连续，在开区间(a,b)内可导，且Y(a)= Y(b)，因此，由罗尔中值定理知，至少存在一点匚6侦b)，使得Y)=一sina + f、()cosa = 0 ，艮口 fQ)= tan以=f b - a3.5用迭加法引入辅助函数法让f G)迭加一个含待顶系数的一次函数y = kx + m ,例如令M)=fGE + m)或(x)= -f (x
10、)+ kx + m，通过使中(a)=(b)，确定出 k,m即可得到所需的辅助函数.例如由山)=八)-心 + m)，令 也)*G)f (b)_ f (”)得f (a)-(ka + m)= f G)-(kb + m)，从而k =，而m可取任意实数，这,、f (b) f (八-样我们就得到了辅助函数中(x)=Mx-m，由m的任意性易知迭加法可b - a构造出无数个辅助函数，这些函数都可用于证明拉格朗日中值定理.3.6用行列式引入辅助函数法证明 构造一个含f(x)且满足罗尔中值定理的函数 中G)，关键是满足11的值在x = a, x = b时恰1f (x ) 1f (a) 1，展开得f (b) 1x
11、f (x ) 中(a)*(b).我们从行列式的性质想到行列式a f (a) b f (b)x恰均为0，因此可设易证中(x)= a b中(x)= f (b)x + bf (a)+ af (x)-af (b)- f (a)x-bf (x).因为f G)在闭区间a,混上连续，在开区间侦b)内可导，所以中G)在闭区间a, b 上连续，在开区间侦b)内可导，且p(a ) = p(b ) = 0，所以由罗尔中值定理知，至少存在一点匚 e (a, b)，使得平)=0.因为甲C)= f (a )- f (b)- (a 一 b)f C)= 0即：广 G)=f &)- f ()b - a3.7数形相结合法1 a
12、f (a)1 b f (b)， a c f (c)引理 在平面直角坐标系中，已知*BC三个顶点的坐标分别为A(a,f (a)，B(b, f (b)，C0,f(c)，则 AABC面积为SA” 2这一引理的证明在这里我们不做介绍，下面我们利用这一引理对拉格朗日中值定 理作出一种新的证明.这种方法是将数形相结合，考虑实际背景刻意构造函数使 之满足罗尔中值定理的条件.如图，设(c, f (c)是直线AB与y = f (x)从A点开始的第一个交点，则构造f (a )f (c )f (x )易验证中O满足罗尔中值定理的条件：在闭区间a, c上连续，在开区间(a, c)内可导而且(a)*G)，则至少存在一点
13、匚e(a,b)，使甲/(。)= 0，即:f (a ) 1 af (c ) 1 cf (a )f (c )f Q)1 a但是1 c1 cf (a )f (c)。0，这是因为，如果f (c)f (a ) f (c) = 0， f (c)则 f(c )-f (c)= f(c)-f (a)，这样使得(c, f (c )成为直线 AB 与 y = f (x)从 A C cc a点的第一个交点，与已知矛盾).f (a ) f (c )=0， f (c)即广(c)= f(b)- f(a) = f(c)- f(a).若只从满足罗尔中值定b 一 ac 一 a1 a理的要求出发，我们可以摈弃许多限制条件，完全可以
14、构造中(x)= 1 b1 xf (a ) f (b )来 f (x )解决问题，从而使形式更简洁，而且启发我们做进一步的推广：可构造1 g (a ) f (a )中(x)= 1 g (b) f (b)来证明柯西中值定理.1 g (x ) f (x )3.8区间套定理证法证明 将区间I = a,b二等分，设分点为。1,作直线、=。1,它与曲线y = f (x)相交于M，过M作直线M L 弦M M .此时，有如下两种可能:111 1a b 若直线M1L1与曲线y = f (x)仅有一个交点M 1，则曲线必在直线M1L1 的一侧.否则，直线M 1 L1不平行于直线M Mb.由于 曲线y = f (x)在点M 1处有切线，根据曲线上一点|切线的定义，直线M1L1就是曲线y = f (x)在点M 1 iTN 板 L % 处的切线，从而f)= f&) f).由作法知，G在区间(a,b)内部，取匚二于是有f G)=手1b a 若直线M 1 L1与曲线y = f (x)还有除M 1外的其他交点，设N1 (x1, y1)为另外一个交点，这时选 取以x，&为端点的区间，记作I =a , b ，有11111b a f (b )- f (a ) f (b)- f (a)l d I b a
