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1、概率论与数理统计第四、五章练习学院 班级、学号 姓名 成绩 一、单项选择题（每小题2分，共16分）说明：请将答案直接填入下表中！12345678ACDDDCCC1.将一枚硬币重复投掷次，以与分别表示正面向上和反面向上的次数，则和的相关系数等于 (A) (B) (C) (D) 2.设随机变量和的方差存在且不等于0，则是和 (A)不相关的充分条件，但不是必要条件 (B)独立的充分条件，但不是必要条件 (C)不相关的充分必要条件 (D)独立的充分必要条件 3.设是一个随机变量，(为常数)，则对任意常数，必有 (A) (B) (C) (D) 4.设随机变量和独立同分布，方差存在且不为零，记，则随机变量
2、与必然 (A)不独立 (B)独立 (C)相关系数不为零 (D)相关系数为零 5.假设随机变量，且相关系数，则 (A) (B) (C) (D) 6.设随机变量和都服从正态分布，且它们不相关，则 (A)与一定独立 (B)服从二维正态分布 (C)与未必独立 (D)服从一维正态分布 7.设随机变量独立同分布，且其方差为，令随机变量，则 (A) (B) (C) (D)8.设为独立同分布的随机变量序列，且均服从参数为的指数分布，记为标准正态分布的分布函数，则 D (A) (B) (C) (D) 二、填空题（每小题2分，共14分）1.设随机变量的服从参数为的指数分布，则 2.设随机变量服从二项在区间上服从均
3、匀分布，随机变量，则方差 3.设随机变量服从参数为1的泊松分布，则 4.设一次试验的成功率为，进行100次独立重复试验，当 时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为 ，55.设随机变量相互独立，其中在上服从均匀分布，服从正态分布，服从参数为的泊松分布，记，则 466.设随机变量和的相关系数为0.5，则 7.设随机变量和的数学期望分别为和2，方差分别为1和4，而相关系数为，则根据切比雪夫不等式 三、解答题（每题7分，共49分）1.设随机变量服从区间上的均匀分布，求条件概率 【答】；2.设连续型随机变量的概率密度为，试求：（1）随机变量的分布函数；（2）数学期望与方差；【解】（1） （2）；， 3
4、.假设一设备开机后无故障工作的时间服从指数分布，平均无故障工作的时间（）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求设备每次开机无故障工作的时间的分布函数。【答】 4.设为两个随机事件，且,，令，求：（1）二维随机变量的概率分布；（2）与的相关系数；（3）的概率分布。【答】（1）X Y0102/31/1211/61/12（2） （3）Z012P2/31/41/125.设随机变量和的联合分布在以点，为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量的方差。【解】 四、综合与应用题（每题10分，共20分）1.假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故
5、障时全天停止工作，若一周5个工作日里无故障，可获利润10万元；发生一次故障仍可获利润5万元；发生二次故障所获利润0元；发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多少？【解】设一周5个工作日内发生故障的天数为,则又设一周内所获利润(万元)，则（万元）2.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20，以表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数。（1）试写出随机变量的概率分布；（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值。【解】（1）设在抽查的100个索赔户中，被盗户数为，则可以看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，故的概率分布为：（）（2）被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件的概率，由中心极限定理得 五、证明题（本题10分）1.对于任意二事件和，称为事件与的相关系数。（1）证明：事件和独立的充分必要条件是其相关系数等于零。（2）利用随机变量相关系数的基本性质，证明。【提示】（1）略；（2）考虑随机变量和：，易见，；
