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1、工程问题（一）顾名思义，工程问题指的是与工程建造有关的数学问题。其实，这类题目的 内容已不仅仅是工程方面的问题，也括行路、水管注水等许多内容。在分析解答工程问题时，一般常用的数量关系式是：工作量=工作效率红作时间，工作时间=工作量勺:作效率，工作效率=工作量勺:作时间。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用数1表示，也可以是部分工程量，常用分数表示。例如，工程的一半表示成工程的三分之一表示为:.工作效率指的是干工作的快慢， 其意义是单位时间里所干的工作量。 单位时 间的选取，根据题目需要，可以是天，也可以是时、分、秒等。工作效率的单位是一个复合单位，表示成 工作量/天”，或 工作量
2、/时”等。但在不引起误会的情况下，一般不写工作效率的单位。例1单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天分析与解：以全部工程量为单位1。甲队单独干需100天，甲的工作效率是上：同理，乙队的工作效率是含。两队合干的工作效率是（焉+焉）.由，工作量二工作效率X工作时间，50天的工作量是i+ ） x 5U =一 + - =一JOO 15072 3 6剩下的工作量是由“工作时间二工作量-工作效率。剩下的工作量由乙队干还需。令心= 25（天）。例2某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。如果开工 时甲、乙两队合做，中途甲队退出
3、转做新的工程，那么乙队又做了 18天才完成 任务。问：甲队干了多少天分析：将题目的条件倒过来想，变为 之队先干18天，后面的工作甲、乙两 队合干需多少天”这样一来，问题就简单多了。隔明吗令213三（1一5）;三=5叉2。=12 （天）口答：甲队干了 12天。例3单独完成某工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三 个队一起干，因工作需要甲队中途撤走了，结果一共用了 6天完成这一工程。问: 甲队实际工作了几天分析与解：乙、丙两队自始至终工作了 6天，去掉乙、丙两队6天的工作量, 剩下的是甲队干的，所以甲队实际工作了1点+/）的$=$ （天）“例4 一批零件，张师傅独做20时完成，王师
4、傅独做30时完成。如果两人同时做，那么完成任务时张师傅比王师傅多做 60个零件。这批零件共有多少个分析与解：这道题可以分三步。首先求出两人合作完成需要的时间，（时建再求出每小时张比王多做的零件数，砧-12 = 5（个）。最后求出这批零件的例，5 +耳-焉I。（个）c例5 水池装有一个放水管和一个排水管，单开放水管 5时可将空池灌满， 单开排水管7时可将满池水排完。如果一开始是空池，打开放水管1时后又打开 排水管，那么再过多长时间池内将积有半池水分析与解以满池水为单位L 1时放水管可使水增加;，排水管可使水减少，同时开1时，可使不增加放水管打开】时后，池内己经有g的水，与半池水还差4 E所以要达
5、到半池水，还需1 I 113 P 1” 5，k5 T 10 354 ”例6甲、乙二人同时从两地出发，相向而行。走完全程甲需 60分钟，乙需 40分钟。出发后5分钟，甲因忘带东西而返回出发点，取东西又耽误了 5分钟。 甲再出发后多长时间两人相遇分析：这道题看起来像行程问题，但是既没有路程又没有速度，所以不能用 时间、路程、速度三者的关系来解答。甲出发 5分钟后返回，路上耽误10分钟, 再加上取东西的5分钟，等于比乙晚出发15分钟。我们将题目改述一下：完成 一件工作，甲需60分钟，乙需40分钟，乙先干15分钟后，甲、乙合干还需多 少时间由此看出，这道题应该用工程问题的解法来解答。彝（一白叱爆片）招
6、（分r答：甲再出发后15分钟两人相遇练习51 .某工程甲单独干10天完成，乙单独干15天完成，他们合干多少天才可完 成工程的一半2 .某工程甲队单独做需48天，乙队单独做需36天。甲队先干了 6天后转交 给乙队干，后来甲队重新回来与乙队一起干了 10天，将工程做完。求乙队在中 间单独工作的天数。3 .一条水渠，甲、乙两队合挖需30天完工。现在合挖12天后，剩下的乙队 单独又挖了 24天挖完。这条水渠由甲队单独挖需多少天4 .甲,乙二人植树，若单独完成则甲比乙所需的时间多若两人合干，则完成任务时乙比甲多植50棵。这批树共有多少棵5 .修一段公路，甲队独做要用40天，乙队独做要用24天。现在两队同
7、时从 两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路长多少米6 .蓄水池有甲、乙两个进水管，单开甲管需 18时注满，单开乙管需24时注 满。如果要求12时注满水池，那么甲、乙两管至少要合开多长时间7 .两列火车从甲、乙两地相向而行，慢车从甲地到乙地需8时，比快车从乙地到甲地多用?的时间.如果两车同时开出，那么相遇时快车比慢车多行40千米。求甲、乙两地的距离。工程问题（二）上一讲我们讲述的是已知工作效率的较简单的工程问题。在较复杂的工程问题中，工作效率往往隐藏在题目条件里，这时，只要我们灵活运用基本的分析方 法，问题也不难解决。例1 一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做
8、 20天，那么乙接着做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画 出示意图：甲5天H凰夫乙一天1II1I乙也天 乙职从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天 的工作量等于乙4天的工作量。于是可用 乙工作4天”等量替换题中 甲工作5 天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24 （天）完成，即乙的工作效率为又因为乙工作4天的工作量和用工作5天的工作量相等，所以甲的工作效率是乙的1为占其 z.4 J JU甲、乙合做这一工程，需用的时间为/（5+步斗（天）例2 一项工程，甲、乙两队
9、合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后甲队做4天，共完成这项工程的如果把其余的工程交给乙队单独做.那么还要几天才能完成分析与解：题中没有告诉甲、乙两队单独的工作效率，只知道他们合作的工作效率是但甲r乙两队一天也役有合作过,为了解决这个问题，我 6们把 乙先做7天，甲再做4天”的过程转化为 甲、乙合做4天，乙再单独做3天。这样，就可以把合作的工作效率?用上了。61 甲.乙两队合作4天完成的工程量是g X4二工 乙再做3天就可完成工b 513程量的葭，由此求出乙的工作效率为4HA H 4）=4剩下的工程乙队还需干1-? 4 = 2 （天）&例3单独完成一件工作，甲按规定时间可提前 2天完成，乙则要
10、超过规定 时间3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的继续由乙单独做，那么 刚好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成分析与解：乙单独做要超过3天，甲、乙合做2天后乙继续做，刚好按时完巨倍成，说明甲做2天等于乙做3天，即完成这件工作，乙需要的时间是甲的2 口“ 因为单独做，乙比甲委用？+ 2 = 5 1天），所以甲需要5十$-1）=（天）,乙需要10+5=15 （天）。甲、乙合作需要1+舄咕=6 （天）。例4放满一个水池的水，若同时打开1, 2, 3号阀门，则20分钟可以完成; 若同时打开2, 3, 4号阀门，则21分钟可以完成；若同时打开1, 3, 4号阀门, 则28分钟可以完
11、成；若同时打开1, 2, 4号阀门，则30分钟可以完成。问：如 果同时打开1, 2, 3, 4号阀门，那么多少分钟可以完成分析与解：同时打开1, 2, 3号阀门1分钟，再同时打开2, 3, 4号阀门1 分钟，再同时打开1, 3, 4号阀门1分钟，再同时打开1, 2, 4号阀门1分钟， 这时，1, 2, 3, 4号阀门各打开了 3分钟，放水量等于一池水的布万+女*右步所以同时打开1，2, 3t 4号阀口放满一池水需1 /+ + 十)320 21 28 30=1+ % 3) = 1=18 (分】口例5某工程由一、二、三小队合干，需要 8天完成；由二、三、四小队合 干，需要10天完成；由一、四小队合
12、干，需15天完成。如果按一、二、三、四、 一、二、三、四、的顺序，每个小队干一天地轮流干，那么工程由哪个队最 后完成分析与解：与例4类似，可求出一、二、三、四小队的工作效率之和是1 17弓十白+白尸2 =四个小队各干了6天即24天后，还剩下工程量的3 1U 1 j4 d711-4乂8=白又因为一，二，三小队合干需8天.即一，二、三小队各干Hq凸1天完成工程量的。，所以工程由三小队最后完成0 O例6甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮 流去做，恰好整天做完，并且结束工作的是乙。若按乙、丙、甲的顺序轮流 去做，则比计划多用:天：若按丙、甲、乙的I顿序轮流去做，则比原计划多L
13、a用天“已知甲单独做完这件工作需要9天，那么甲、乙，丙三人一起做这件工作，要用多少天才能完成分析与解：把甲、乙、丙三人每人做一天称为一轮。在一轮中，无论谁先谁 后，完成的总工作量都相同。所以三种顺序前面若干轮完成的工作量及用的天数 都相同（见下图虚线左边），相差的就是最后一轮（见下图虚线右边）。甲乙丙丙:甲去: 1乙丙甲，,”甲：乙丙5甲,丙甲乙乙:丙甲（乙由最后一轮完成的工作量相同，得到甲十乙二乙十丙十;甲，乙+丙+ g甲=丙+甲+ g乙01由式得到m丙二甲；由式得到.乙4甲,甲、乙、丙三人合319做一天等于甲做1 +?+ g = g1天），推知三人合做需用练习61 .甲、乙二人同时开始加工
14、一批零件，每人加工零件总数的一半。甲任务的1时乙加工了45个零件，甲完成1时乙完成了一半.问，这批零件共 完成 有多少个2 .一件工程，甲、乙合做8天能完成之.单独做，甲完成与乙完成（所 632需的时间相等。问：甲、乙单独做各需多少天3 .加工一批零件，王师傅先做6时李师傅再做12时可完成，王师傅先 做8时李师傅再做9时也可完成。现在王师傅先做2时，剩下的两人合做, 还需要多少小时4甲、乙.丙三人合修一围墙，甲、乙合修5天修好围墙的;，乙、丙合 修2天修好余下的：，剩下的甲、丙又合修了5天才完成小问：甲、乙、丙单独修各需几天5 .蓄水池有甲、乙、丙三个进水管，甲、乙、丙管单独灌满一池水依 次需要10, 12, 15时。上午8点三个管同时打开，中间甲管因故关闭，结 果到下午2点水池被灌满。问：甲管在何时被关闭6 .单独完成某项工作，甲需9时，乙需12时。如果按照甲、乙、甲、 乙、的顺序轮流工作，每次1时，那么完成这项工作需要多长时间7 .一项工程，乙单独干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干， 这样交替轮流干，那么恰好用整天数完成；如果第一天乙干，第二天甲干， 这样交替轮流干，那么比上次轮流的做法多用半天完工。问：甲单独干需 要几天
