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1、陈纪修专家数学分析九讲学习笔记与心得云南分中心 昆明学院 周兴伟本次听陈专家的课,收益颇多。陈专家的这些讲座,不仅是在教我们如何解决数学分析中某些教学重点和教学难点，更是几堂非常杰出的示范课。我们不妨来温习一下。第一讲、微积分思想产生与发展的历史法国出名的数学家H.庞加莱说过:“如果我们想要预见数学的将来,合适的途径是研究这门科学的历史和现状。” 那么,如果你要学好并用好数学分析,那么，掌故微积分思想产生与发展的历史是非常必要的。陈专家就是以这一专项开讲的。在学校中,我不仅讲授数学分析,也讲授数学史，因此我非常赞同陈专家在教学中渗入数学史的想法,这应当也是提高学生数学素养的有效途径。在这一讲中
2、,陈专家脉络清晰,分析精当,这是我自叹不如的。讲数学史也有些年头,但仅满足于史料的堆砌,没有对某些精彩例子加以剖析。如陈专家对祖暅是如何用 “祖暅原理”求出球的体积的分析,这不仅对提高学生的学习爱好是有益的（以疑激趣、以奇激趣）,并且有助于提高学生的民族自豪感(陈专家也提到了这一点)。在这一讲中,陈专家对weertrass的“N”、“”语言的评述是“它实现了静态语言对动态极限过程的刻画”。这句话是非常精当的，如果意识不到这一点，你就很难理解这一点。在此我还想明确一点：数学分析的研究对象是函数,重要是研究其分析性质，即持续性、可微性及可积性，而使用的工具就是极限。如果仔细盘点一下，在数学分析中,
3、无论是数、函数、数列、函数列,数项级数,函数项级数等有关问题，无不用到这一语言，你应当能理解陈专家的“对于数学类学生来说，没有“”、“”语言,在数学分析中几乎是寸步难行的”这一观点。第二讲、实数系的基本定理在这一讲中，陈专家从实变函数中对集合基数的讨论展开,对实数系的持续性作了有趣的讨论。一方面是从绅士开aty的礼帽问题,带我们走进了“无穷的世界”。我在开数学赏析时有一种专项就是“无穷的世界”，我给学生讲礼帽问题、也讲希尔伯特无穷旅馆问题，但遗憾的是，当我剖析“若无穷旅馆住满了人,再来两个时，可将住1号房间的移往号房间,住2号房间的移往号房间,从而空出两个房间”时，学生对我“能移”表达怀疑。这
4、一点我往往只能遗憾的说“跳不出有限的圈子，用有限的眼光来看无限，只能是只在此山中,云深不知处”。固然，我还是会进一步考虑如何来讲好这一讲。若陈专家或其她教师有好的建议，能指点一下，则不胜感谢。对于集合0，1与(0,1)的对等关系,涉及Q与的对等关系,或者说她们之间双射的构造。核心在于“求同存异”，找一种可数集来“弥补”她们之间的差距，这相称于希尔伯特无穷旅馆问题中来了两个人和来了可数个人。对于实数集中的有理数,“廖若晨星”是非常形象的描述。一声集合的哨响，我们发现,有理数在实数轴上几乎是没有位置的（Q=),用一系列的帽子来盖住这些点，而这些帽子的大小是，这是非常精彩的成果。从可数集到不可数集,
5、再加上无最大基数定理,让我们看到了“无穷的层次性”，由此我们不难理解“人外有人,天外有天，无穷之外有无穷”。我们不能不发出“哀吾生之须臾，羡长江之无穷”的感慨。陈专家对单调确界原理的证明非常清晰明了，几何直观的描述形象直观。第三讲数学分析课程中最重要的两个常数法国出名雕塑家罗丹曾经说过“生活中从不缺少美，而是缺少发现美的眼睛”。我想说:“数学中并不缺少美,缺少的是揭示数学美的教师”。陈专家是一种杰出的教师,她不仅发现了数学的美，并且为我们展示了数学的美。出名的欧拉公式:,实现了有理数、无理数、超越数、实数、虚数完美统一，获得“最美的数学定理”称号。欧拉建立了在她那个时代，数学中最重要的几种常数
6、(）之间的绝妙的有趣的联系,被觉得是数学奇异美的典例。在本讲中，陈专家以李大潜院士访问法国“引入”的一种有趣例子开讲，让我们体会了数学中的美,这个不等式尚有许多故意思的地方，无论是不等式的形式，还是她的证明,都非常深刻地体现了数学的美。Pi是无理数的证明，吸引了与会学员的眼球，赞叹之余,有学员问这一证法的出处,我也还真想懂得，请陈专家不吝指教。本讲最后将函数sinx/展成无穷乘积形式,并妙用此形式求出级数中p为偶数值时的和，对我而言是耳目一新的。在我记忆中仿佛菲尔金哥尔茨的微积分学教程(第二卷)中也有求出的措施,而p为奇数的情形仿佛至今尚未解决。对p=2的情形，欧拉至少用两种措施得到成果，其中
7、一种措施妙用了Lositl法则(数学译林09.3)。第四讲级数与反常积分收敛的A.D鉴别法恰逢这个学期讲数学分析(），在讲授含参变量反常积分时，先复习了反常积分,再复习了函数项级数,并将几种鉴别法列表比较,特别是A.D鉴别法,能与陈专家不谋而合，真是倍感荣幸。陈专家对Abl引理的直观刻画，也是深得学员好评。我对陈专家从Abel引理分析Sanbn收敛条件的分析而得到Dilicl鉴别法和鉴别法的有关条件深感佩服，特别是分析得丝丝入扣。第五讲 函数项级数与含参变量反常积分的一致收敛一致收敛性无疑是数学分析中的一种重要概念。陈专家对“点点收敛”与“一致收敛”的剖析是非常到位的，学生在学习时如果是只能注
8、意到在定义的陈述“x”的位置不相似,而不明其因此时,这样的教学肯定是失败的。陈专家例子选择精当,语言使用精辟,问题分析精确。请注意陈专家的这句话：“毛病出在点态收敛的状况下,在某些点附近,无法控制”(类似的话在第九讲中说过）。第六讲Wiersta函数:到处持续到处不可导的函数陈专家分析了为什么在Wirstrass之前的数学家不能构造出这样的函数。本来在此之前，数学家们所掌握的函数是局限性以构造出这样的函数的。Weierstrass在187年构造出了如下到处持续到处不可导的函数：Sanin(bx) 0a1陈专家选用193年VnDer Weden给出的例子进行了剖析。所讲自是精当，本人很是受益。第
9、七讲条件极值问题与Lagrng乘数法本讲陈专家从一种几何问题入手,得到一种条件极值问题。考虑了条件极值的必要条件,引入agra乘数法,化条件极值问题为无极条件极值问题。这部分内容中,本人觉得几何解释最有启发性。对于具体使用Laae乘数法的例子中，如何解方程组，陈专家给了较好的建议。第二个例子，即求平面xy+z=0与椭球面x2+y24z2=1相交而成的椭圆面积。这个例子我很喜欢，只可惜不能用来做期末考题(不要问我为什么!）。第八讲 重积分的变量代换本讲陈专家从定积分的换元的计算公式分析入手，对二重积分的相应的代换公式作出类比猜想(在教学中注重渗入数学思想措施，如此妙哉！)再作分析，然后得出代换公
10、式。为证明代换公式，陈专家引入本原映射，化“矩形”为“梯形”，化变换为两个本原变换的复合，实现了化复杂为简朴，化困难为容易。第九讲数学分析课程中的否认命题 数学分析教学中,说说“反话”很重要!（请不要误解！）两个命题与如果既不能同步成立,也不能同步不成立,就称与互为否认命题。若与互为否认命题，则与一定满足：一种成立，另一种必然不成立；一种不成立，另一种必然成立。(废话!）有界与无界、收敛于a与不收敛于a、收敛与不收敛、(注意前边两对的区别！）、可导与不可导、Cachy收敛准则及其否认命题,等等。这些“反话”不说，大量的题做不了。我在讲数学分析(1)时会有一讲(几种概念的否认论述）就是来讲否认命
11、题的。陈专家在这部分的例子非常好,分析得也清晰！陈专家的九讲,给了我们太多的启示:一、在我们的教学中，不仅要教其因此然，并且要教其因此然。陈专家的这九讲，应当是我们讲授数学分析的典型案例,固然，我们不一定是讲这某些内容！对的的思想从哪里来，是从天上掉下来的吗？不是!二、在我们的教学，不仅要传授知识,并且要传授思想措施，也就是教学中要注重思想措施的渗入。三、在我们的教学中,不仅要传授知识，并且要培养学生的数学素养,让她们理解数学的过去、目前，以便开创数学的将来。四、在我们的教学中，或许会遇的许多困难:教学时数少，教学对象差等等，但我们应从我们自身积极的寻找对策。陈专家就是这样的。以上所述,仅凭个人听课记录，又仅凭个人理解。若是有误，请陈专家见谅并斧正。最后，向陈纪修专家致以崇高的敬意！ 滇源后学：周兴伟
