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1、分式知识点总结和题型归纳 第一部分分式的运算(一)分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义 ：A一般地，如果 A, B表示两个整数，并且 B中含有字母，那么式子 A叫做分式，A为分子,BB为分母。【例1】下列代数式中:x 1,2xy, a b,J a b x y1 y，是分式的有:x y#题型二：考查分式有意义的条件分式有意义：分母不为 0( B 0) 分式无意义：分母为 0( B 0)【例1】当x有何值时，下列分式有意义(1)3xx22(3)x2(4)( 5)丄|x| 3 x 丄x题型三：考查分式的值为 0的条件分式值为0:分子为0且分母不为0 (A 0)B 0【例1】当x取何值时，下列分式
2、的值为0.(1)x 1x 3(2)|x| 2 x2 42(3)3x 5x 6【例2】当x为何值时，下列分式的值为零:(1)5 |x 1 |x 4(2)25 x22x 6x 5题型四：考查分式的值为正、负的条件分式值为正或大于 0:分子分母冋号(A0或A 0)B0B 0分式值为负或小于0：分子分母异号（A 或八）B 0 B0【例（1） 当 x为何值时，分式为正;（2）当x为何值时，分式5 x23 (x 1)2为负;（3）当x为何值时，分式工为非负数.【例2】解下列不等式（1）1古 （ 2）U题型五：考查分式的值为 1，-1的条件分式值为1 :分子分母值相等（A=B）分式值为-1 :分子分母值互为
3、相反数（ A+B=）【例1】若也L上的值为1,-1，则x的取值分别为 x 2思维拓展练习题：a b221、右 ab0, a + b 6ab=0,则 a b.2,5,8,11bbbb2、一组按规律排列的分式:,丄Laaaa(ab 0),则第n个分式为2八3、已知x 3x 12x0，求12x的值。y x24、已知X2 y 2x 4y 50,求分式x y的值。(1)4y(2) 0.2a 0.03b0.04a b(二)分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质：AAMA MBBMB M2.分式的变号法则：aaaabbb b题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数
4、化为整数题型二：分数的系数变号【例1】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1)(2)(3)题型三：化简求值题【例1】已知：11x y5，求 2x 3xyx 2xy2y的值 y【例2】已知：1 2 1x -2，求x2的值.xx2【例3】若1x y 11 (2x 3)20，求4的值.【例4】已知:1 13，求 2a 3ab 2b 的值.a bb ab a【例5】若a2 2a b26b 10 0，求霁的值.【例6】如果1 x 2，试化简害x 1|x|x 1 | x思维拓展练习题1、对于任何非零实数a*ba,b,定义运算“ *”如下：a bab ,求 2*1+3*2+ +10*
5、9 的值2x y z2、已知2340,求代数式x y Z的值(三)分式的运算分式的乘除法法则：aca ?c乘法分式式子表示为：?bdb?daca.a?d除法分式式子表小为：bdb cb?c 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为:分式的加减法则:异分母分式加减法:式子表示为:ad bcb d可以把整式当作一个整数,bd整式前面是负号，要加括号，看作是分整式与分式加减法： 母为1的分式，再通分。题型一：通分1 系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数2 取各个公因式的最高次幕作为最简公分母的因式3 如果分母是多项式，则应先把每个分母分解因式，然后判断最简公分母 【例1】将下列各式
6、分别通分c b a2ab 3a2c 5b2c(2)a b ；a b 2b 2a1x21厂，1 2x x2，x2 x 2 ；( 4)a 2,厂题型二：约分 分式的分子与分母 均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数, 去分子分母相同因式的最低次幕。 分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。【例2】约分：然后约(1)216x y ；3，20xy(3)2xx22xx6题型三：分式的混合运算【例3】计算：（1）（口）3 （七）2 （吟；c ab a(2)(斗x y(x22 y x 2y2) ()2 ；y x(3)m 2nn m2mn m(4)兰 a 1 ；a 1(5)2xx
7、2* 374x8x.48 ；1 X 1 X(6)1(X 1)(X1)1(X 1)(x 3)1(x 3)(x 5)2(7)x2 4x(1题型四：化简求值题【例4】先化简后求值2(1 )已知：X 1，求分子1 -( 4 1)(丄丄)的值;x24 4x2 x(2)已知:-2岂，求X蓉彎3,的值;4x y z(3)已知:a2 3a 10，试求(a2)(a -)的值.a a题型五：求待定字母的值【例5】若1 3xx21，试求X 1M , N的值.思维拓展练习题:1、某工厂通过改造设备，平均每天节约用煤15，那么相同数量的煤，现在使用的天数是原来的几倍?ab 1b24b，则aab5、已知a,b,c为实数，
8、且 a b1, bc 1 ca3 b c 4 c a1abc5，求ab bc ca的值2a2、若非零实数a,b满足x2x23xy2y23、若y7，求 2x25xy7y2的值abc4、已知abc=1,求 aba 1bcb 1 ac c 1的值第二部分分式方程分式方程的解的步骤：去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。（产生增根的过程）解整式方程，得到整式方程的解。检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中： 如果最简公分母为 0,则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为0，则是原方程的解。产生增根的条件是：是得到的整式方程的解；代入最简公分母后值为0。（一）分式方程题型
9、分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程(1)(2)0 ；（ 3）x21 ；（ 4）题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程(1)(2)x 10 x 6x 9 x 5提示：(1)换元法，设丄 y ;x 1(2 )裂项法,【例3】解下列方程组题型三：求待定字母的值【例4】若关于x的分式方程有增根，求m的值.【例5】若分式方程2x ax 21的解是正数，求a的取值范围题型四：解含有字母系数的方程【例6】解关于x的方程x a c(c d 0)b x d题型五：列分式方程解应用题1、某服装厂准备加工 400套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%结果共用了 18天完成任务
10、，问：原计划每天加工服装多少套？2、某商店经销一种泰山旅游纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售量，5月份该商店对这种纪念品打 6折销售，结果销售量增加 20件，营业额增加700元。（1）求该种纪念4月份的销售价格？（2）若4月份销售这种纪念品获得 800元，5月份销售这种纪念品获利多少元？3、河边两地相距 50km”船在静水中的速度是m（km/h），水流速度是n（km/h）.（1）船从河边两地往返一次需要多长时间？（2）当m=30,n=10时，求船往返一次需要的时间？4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a（ m的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试
11、验田是边长为（a-1）m的正方形，两块试验田的小麦 都收获了 500kg（1）哪种小麦的单位面积产量高？（2）小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？思维拓展练习题：1 1a b1、已知a b a b，求b a的值。（二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验, 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下：一、交叉相乘法 例1 .解方程:二、化归法例2 .解方程:1 2x 1x21三、左边通分法例3:解方程:四、分子对等法例4解方程：1 a 1 b (a b) a x b x五、观察比较法例5.解方程:4x5x 2175x 24x4六、分离常数法例6.解方程:七、分组通分法例7 .解方程:于x的分式方程2a 1x 1a无解，试求a的值.(三) 分式方程求待定字母值的方法题型一：关于无解的情况例1若分式方程无解，求m的值。x 22 x题型二：关于不会有增根的情况例2 若关于k2x21不会产生增根，求k的值。题型三：关于有增根的情况例3 若关于x分式方程丄x 2&有增根，求k的值。例4若关于x的方程亠导x x x x有增根x 1，求k的值。x21
