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1、目 录摘要及关键词11引言12拉格朗日中值定理的介绍22.1拉格朗日中值定理22.2拉格朗日中值定理的理解22定理的条件22定理中的32定理的几何解释32.3拉格朗日中值定理的推广32柯西中值定理32泰勒定理42.4拉格朗日中值定理的推论43拉格朗日中值定理的证明53.1辅助函数证明法53.2行列式证明法63.3区间套定理证明法64拉格朗日中值定理的应用84.1定理在求极限中的应用84.2 定理在证明恒等式中的应用94.3 定理在证明不等式中的应用104.4定理在证明积分不等式中的应用114.5 定理在证明方程根存在的应用124.6定理在证明函数性质中的应用134.7定理在导函数性质中的应用1
2、45 结束语14参考文献15 拉格朗日中值定理的应用孙亚南（德州学院数学科学学院，山东德州 253023） 摘 要：拉格朗日中值定理是微积分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁.为了更好地说明拉格朗日中值定理，本文通过分析该定理的性质，深入理解了拉格朗日中值定理，并构造辅助函数，证明拉格朗日中值定理的合理性.基于此，本文最后研究了该定理在数学各个方面中的应用，如求极限、不等式、恒等式、收敛，根的存在性等.关键词：拉格朗日中值定理； 辅助函数； 极限； 收敛； 根的存在性1引言至今，人们对微分中值定理的认识可以追溯到古希腊数学家在几何研究中，得到了这样的一个结论：“过抛物线弓形的
3、顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”，这正是拉格朗日中值定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德正是巧妙的利用这一结论，求出抛物线弓形的面积的.意大利卡瓦列里在不可分量几何学的卷中给出处理平面和立体图形切线的引理，其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实：曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理，被人们称为卡瓦列里定理.人们对微分中值定理的研究，从微积分建立的时候就开始了.1637年，著名法国数学家费马求最大值和最小值的方法中给出了费马定理.1691年，法国数学家罗尔方程的解法一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年，法国数学家拉格朗日在解析函数论一书中给出拉格朗日中
4、值定理，并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西，他是数学分析严格化运动的推动者，他的三部巨著分析教程、无穷小计算教程概论、微分计算教程,以严格化为其主要目标,对微积分理论进行了重构.他首先赋予中值定理以重要作用,使其成为微分学的核心定理.在无穷小计算教程概论中,柯西首先严格地证明了拉格朗日定理,又在微分计算教程中将其推广为广义中值定理柯西定理.根据现在微分中值定理在国内外的研究现状，我利用有限的知识，总结了该定理在函数各个方面中的应用.首先，我给出拉格朗日中值定理的定义，分别说明该定理的意义以及相关的推论，让人们对本文所讨论的内容有个初步的认识.然后，我给出三种证明拉格朗
5、日中值定理的方法，让人们更好地理解该定理的内涵.最后，我分别讨论拉格朗日中值定理在函数各个方面的应用，并一一列举出相应的例题，进行详细地说明.2拉格朗日中值定理的介绍1在介绍拉格朗日中值定理之前，我们先给出与该定理有着密切联系的一个定理罗尔定理，该定理如下：设函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；（3），则在上至少存在一点，使得 下面我们先给出拉格朗日中值定理,该定理如下：如果函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导；则在上至少存在一点，使得 通过观察两个定理的内容，我们不难发现拉格朗日中值定理是罗尔定理更一般的情况.函数在闭区间上连续，在开区间内可
6、导是拉格朗日中值定理中必不可少的条件，是充分而不必要的条件.如果满足这两个条件就一定能够得出结论，但是如果不满足这两个条件，则不能够得出相应的结论.2根据拉格朗日中值定理的叙述，我们对定理中的和“至少存在”这个词做特别的解释说明.实际上是与值相等且在开区间内存在的点，在的所有的实数解的个数就是的个数. 根据拉格朗日中值定理，该定理中就是表示连接曲线上两点A，B的弦的斜率，是过曲线上一点的切线的斜率.那么，定理就可解释为在曲线上至少存在一条平行于AB的切线.为了更深刻的研究拉格朗日中值定理，下面我们给出拉格朗日中值定理的几个推广及其推论.1设函数和满足（1）在上都连续：（2）在开区间上可导； （
7、3）和不同时为零； （4），则存在，使得 根据柯西中值定理，我们发现当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理了.1若函数在闭区间上存在直至阶的连续导数，在上存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 在介绍拉格朗日中值定理的几个等价表示形式之后，我们再依次给出该定理的三个推论.拉格朗日中值定理的等价表示： 下面我们给出拉格朗日中值定理的推论，以及相应的证明.推论1 若函数在区间上可导，且，则为上的一个常量函数.证明：任取两点（设），在区间上应用拉格朗日中值定理，存在,使得 因为，所以，即 又因为的任意性，则函数在区间是一个常量函数.推论2 若函数和均在区间上可导，且，则在区间上与只相差某一
8、常数，即 推论3 （导数极限定理）设函数在点的某邻域上连续，在内可导，且极限存在，则在点可导，且 分析：为了更好地理解该定理证明过程，我们在证明这个定理之前先给出左右导数的定义.设函数在点的某个右邻域内有定义，若极限存在，则称此极限值为在点处的右导数，记作.设函数在点的某个左邻域内有定义，若极限存在，则称此极限值为在点处的左导数，记作.下面分别按照左右导数来证明导数极限定理成立.证明：（1）任取在上满足拉格朗日中值定理条件，则存在，使得 由于，因此当，对上式两边取极限，便得 （2）同理可得因为存在，所以，从而，即.3拉格朗日中值定理的证明 根据前面给出的拉格朗日中值定理，我们给出了几种该定理的
9、证明方法.1首先我们先构造一个辅助函数 显然，且在，使 移项后即得到所要证明的拉格朗日中值定理.3根据函数的几何意义，我们构造了如下的函数： 由上面的函数满足，且函数在上连续，在上可导，则根据罗尔中值定理，我们可得出至少存在一点使成立，即有 .4 在用区间套证明拉格朗日中值定理时，我们先给出能用的三个引理，及其相应的证明. 引理1：设函数在闭区间上连续，且满足，则存在一闭区间，使得 且证：设函数 且根据已知函数在区间上连续，且 若，则由闭区间上连续函数的介值性定理，存在一点，使得 则可以令 故存在一闭区间，使得 引理2: 设在闭区间上连续，则存在，使得且 证明：令 显然在上连续且因此，我们由引
10、理1可以得出，存在，使得且 即 所以 引理3：若函数在内一点可导，对任意两个数列，该两数列满足，且，则.根据上面给出的这三个引理，下面我们开始证明拉格朗日中值定理.证明：因为函数在闭区间上连续，由我们上面给出的引理2可知，存在，使得且同理，存在，使得 且 依次类推，可得上的一系列闭区间 （）满足 （1） （2） （3）则由闭区间套定理，在存在唯一的一点，使得 根据引理3，我们可以得出 4拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理是微积分学中重要的定理之一，它在解决许多数学学问题中有着不可或缺的角色.为了更好地了解拉格朗日中值定理在数学各个问题中的应用，我们分别一一列举出它的用途，以及相应的例题.拉
11、格朗日中值定理在求极限中有着重要的地位，尤其是它的推广的泰勒定理在求极限中的地位更为突出.为了更好的说明该定理在极限中的重要作用，我们下面列举出几个例题.例1 根据拉格朗日中值定理的推广，我们运用泰勒定理来解决这个求极限问题.解：原式=例2 （其中函数在点可导，且）.根据拉格朗日中值定理，以及特殊函数的极限，我们可以利用泰勒定理解决上述极限问题.解：原式=4.2 定理在证明恒等式中的应用成立时：当导数时，函数恒等于某一个常数.利用这个推广的定理，我们可以证明恒等式.例35 有意义.证明：证明：问题等价于要证明函数 事实上， 而 ， 故根据计算得. 因此，. 但由，所以 . 即 移项有 成立.4.3 定理在证明不等式中的应用不等式是数学分析中经常遇到的而又比较难解的问题之一.为了更好地解决不等式的问题，我们将利用微分中值定理来证明不等式.例46 设函数在上单调下降，可微，如果当时，成立，则当时，必有 证明：步骤1：在证明该不等式成立之前，我们需要先证明这样的一个不等式 （1）构造函数 则有 因为. 根据函数的单调性，则函数单调递减的.又因为则当，即 成立.步骤2：目标在于证明函数内，有 （2）事实上，因为函数，有.应用拉格朗日中值定理，可以得 （3）注意到当时则式子（3）满足：
