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1、数学实验报告4非线性方程求解电13苗键强2023010645一、实验目的 1.掌握用 MATLAB 软件求解非线性方程和方程组的基本用法， 并对结果作初步分析；2.练习用非线性方程和方程组建立实际问题的模型并进行求解。二、实验内容题目1 【问题描述】(Q1)小张夫妇以按揭方式贷款买了1套价值20万元的房子，首付了5万元，每月还款1000元，15年还清。问贷款利率是多少？(Q2)某人欲贷款 50 万元购房，他咨询了两家银行，第一家银行开出的条件是每月还 4500元，15 年还清；第二家银行开出的条件是每年还 45000 元，20 年还清。从利率方面看，哪家银行较优惠（简单假设：年利率=月利率12
2、）？【分析与解】假设初始贷款金额为x0，贷款利率为p，每月还款金额为x，第i个月还完当月贷款后所欠银行的金额为xi，(i=1,2,3,.,n)。由题意可知：x1=x01+p-xx2=x0(1+p)2-x1+p-xx3=x0(1+p)3-x1+p2-x1+p-x xn=x0(1+p)n-x1+pn-1-x1+p-x=x01+pn-x1+pn-1p=0因而有：x01+pn=x1+pn-1p(1)则可以根据上述方程描述的函数关系求解相应的变量。(Q1)根据公式(1)，可以得到以下方程：150p1+p180-1+p180+1=0设 fp=150p1+p180-1+p180+1，通过计算机程序绘制f(p
3、)的图像以判断解p的大致区间，在Matlab中编程如下：fori = 1:25 t = 0.0001*i;p(i) = t;f(i) = 150*t*(1+t).180-(1+t).180+1;end;plot(p,f),hold on,gridon;运行以上代码得到如下图像：f(p)p关系曲线图通过观察上图可知p0.002,0.0022。Solution1：对于p0.002,0.0022，采用二分法求解，在Matlab中编程如下：clear; clc;x0=150000; n=180; x=1000; p0=0.002; p1=0.0022;while (abs(p1-p0)1e-8) f0
4、=x0*(1+p0).n+x*(1-(1+p0).n)/p0; f1=x0*(1+p1).n+x*(1-(1+p1).n)/p1; p2=(p0+p1)/2; f2=x0*(1+p2).n+x*(1-(1+p2).n)/p2;if (f0*f20 & f1*f21e-8) f0=1000*p10*(1+p10).180-9*(1+p10).180+9; f1=1000*p11*(1+p11).180-9*(1+p11).180+9; p22=(p10+p11)/2; f2=1000*p22*(1+p22).180-9*(1+p22).180+9;if (f0*f20 & f1*f21e-8)
5、f0 = 100*p20*(1+p20).20-9*(1+p20).20+9; f1 = 100*p21*(1+p21).20-9*(1+p21).20+9; p22 = (p20+p21)/2; f2 = 100*p22*(1+p22).20-9*(1+p22).20+9;if (f0*f20 & f1*f20) p20 = p22;else p21 = p22;end;end; p20结果得到p1=0.00585079193115234=0.5851%，相应的年利率为p1n=12*p1=7.021%；p2=0.0639487743377685=6.395%。所以第一家银行的贷款年利率是7.
6、021%，第二家银行的贷款年利率是6.395%。Solution2：采用牛顿法求解相应的利率值，为观察p1k和p2k是否收敛，在Matlab中编程如下：clearclcn=6; fori=1:np(i)=0.0001*(i+55); t=p(i);f1(i)=t-(1000*t*(1+t).180-9*(1+t).180+9)/(180000*t*(1+t).179+1000*(1+t).180-1620*(1+t).179);g(i)=t;end; plot(p,f1,p,g),hold on,gridon;clearclc n=10;fori=1:np(i)=0.001*(i+60); t
7、=p(i);f2(i)=t-(100*t*(1+t).20-9*(1+t).20+9)/(2000*t*(1+t).19+100*(1+t).20-180*(1+t).19);g(i)=t;end; plot(p,f2,p,g),hold on,gridon;运行以上代码得到如下图像：由图像可知两条蓝色曲线在两线交点处斜率绝对值均小于1，故p1k和p2k均收敛。对于p1k，取初始值p=0.0056，对于p2k，取初始值p=0.061，采用牛顿法求解，在Matlab中编程如下：clearclcp=0.0056;fori=1:100t=p;pp=t-(1000*t*(1+t).180-9*(1+t
8、).180+9)/(180000*t*(1+t).179+1000*(1+t).180-1620*(1+t).179); p=pp;endpclearclcp=0.061;fori=1:100t=p;pp=t-(100*t*(1+t).20-9*(1+t).20+9)/(2000*t*(1+t).19+100*(1+t).20-180*(1+t).19);p=pp;endp结果得到p1=0.00585079258284539=0.5851%，相应的年利率为p1n=12*p1=7.021%；p2=0.0639487770923863=6.395%。所以第一家银行的贷款年利率是7.021%，第二家银行的贷款年利率是6.395%。Solution3：采用fzero求解，在Matlab中编程如下：clearclc p1 = fzero(inline(1000*x*(1+x).180+9-9*(1+x).180), 0.0056,0.0066); p2 = fzero(inline(100*x*(1+x).20+9-9*(1+x).20), 0.061,0.071); p1 p2结果得到p1=0.00585079258284532=0.5851%，相应的年利率为p1n=12*p1=7.021%；p2=0.0639487770923863=6.395%。所
