《浙江专版高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修5》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浙江专版高中数学复习课一解三角形学案新人教A版必修5（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复习课(一)解三角形利用正、余弦定理解三对于解三角和角,其中#以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等.考点精要解三角形的常见类型及方法(1) 已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A+ B+ C=n,求第三个角.(2) 已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A+ B+ C=n,求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边.(3) 已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另 两角.(4) 已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边.典例设锐角 ABC的内角A B,
2、 C的对边分别为a, b, c,且有a= 2bsin A.(1) 求B的大小；(2) 若 a= 3寸3, c= 5，求 b.解 由a= 2bsin代1根据正弦定理得sin A= 2sin Bsin A,所以sin B=-,n由于 ABC是锐角三角形，所以B=R(2)根据余弦定理，得2 2 2b = a + c - 2accos B= 27 + 25 - 45= 7,所以b= .7.类题通法利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系.题组训练1.在厶 ABC中,内角 A,
3、B, C的对边分别是 a, b, c,若 a2- b2=. 3bc, sin C= 2. 3sinB,则 A=()A. 30B. 60C. 120D. 150b + c a 一毙 3bc+ c解析：选A由正弦定理可知c =2 3 b，贝Ucos A=2bC=2bC=一尿;b屜聖所以A= 30,故选A.n2在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A= ,a= 1,b=;3，则B解析：依题意得，由正弦定理知：= sin彳n sin b sin -6sin B=f,又 0Ba,可得3.A ABC的内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.(1)若 a, b, c成等差数列，证
4、明：sin A+ sin C= 2sin( A+ C); 若a, b, c成等比数列，求 cos B的最小值.解：证明: a, b, c成等差数列， a+ c = 2b.由正弦定理得sin A+ sin C= 2sin B/ sin B= sinn (A+ Q = sin( A+ C),/ sin A+ sinC= 2sin(C .2/ a, b, c成等比数列， b = ac.由余弦定理得2 2 . 2 2 2a + c b a + c ac 2ac ac 1 cos B=2ac2ac2ac2当且仅当a= c时等号成立.1 cos B的最小值为 2三角形形状的判定判断三角形的形状是一种常见的
5、题型，就是利用条件寻找边的关系或角的关系，题型多为选择题、解答题，难度中等.考点精要三角形中的常用结论(1) A+ B=n 一 C,A+ B n2 = 2C2.(2) 在三角形中大边对大角，反之亦然.(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.典例在厶ABC中, a, b, c分别表示三个内角 A, B, C的对边，如果(a2+ b2)sin( A B) = (a2 b2) sin( A+ B)，试判断该三角形的形状.解 (a2 + b2)sin( A- B) = (a2 b2) sin( A+ B ,2 2 2 2/ a sin( A B) sin( A+ B) = b sin(
6、 A+ E) sin( A- B)，二 2a cos Asin B= 2b sin Acos B.由正弦定理得 2sin 2Acos Asin B= 2sin 2Bsin Acos B,即 sin 2 A- sin Asin B= sin 2 B - sin Asin B.nT 0A n, 0B n,二 sin 2A= sin 2B, 2A= 2B或 2A=n 2B,即 A= B或 A+ B=迈/ ABC是等腰三角形或直角三角形.类题通法根据所给条件判断三角形的形状的途径(1) 化边为角.(2) 化角为边，转化的手段主要有： 通过正弦定理实现边角转化； 通过余弦定理实现边角转化； 通过三角变换
7、找出角之间的关系； 通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状.题组训练1. 在 ABC中，内角 A, B, C所对的边长分别是a, b, c.若 c acos B= (2 a b)cos A,则厶ABC勺形状为()A.等腰三角形B .直角三角形C.等腰直角三角形D 等腰或直角三角形解析：选 D T c acos B= (2 a b)cos A, C=n (A+ B) ,.由正弦定理得 sin C sin Acos B= 2sin Acos A sin Bcos A,. sin Acos B+ cos Asin B sin Acos B= 2sin Acos,n ,A
8、 sinBcosA,.cosA(sinB sin A = 0, cosA= 0 或 sinB= sinA,.A= 或 B=A或B=n A舍去)故 ABC为直角三角形或等腰三角形.2. 在厶ABC中,已知3b= 2.3asin B,且A B, C成等差数列，则厶ABC勺形状为()A.直角三角形B 等腰三角形C等边三角形D.等腰直角三角形解析：选 C / A, B, C成等差数列， A+ C= 2B,即 3B=n，解得 B=nn. t 3b= 2 . 3asin B,.根据正弦定理得 3sinB= 2 ：3sin AsinB.v sin Bm0,二 3= 2 ：3sin 代即 3n 2 n2 nn
9、nsin A=y, 即卩 A= 或p,当 A=p时，A+ B=n 不满足条件.二 A=, C=.故 A=233333B=。，即厶ABC的形状为等边三角形.3A3.在 ABC中，角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,已知向量 m= cosy,a,3Asin ,nA . Acos, sin，且满足 | m+ n| = v3.2 2 (1)求角A的大小;(2)若b+ c = ：3a，试判断厶ABC勺形状.解： 因为 | m n| = ;3，所以 | m+ n| 2= 3，即 m + n2 + 2nr n= 3.又因为13A A . 3A. A 1所以 m n= ，所以 cocos + si
10、n ysin 空=2，所以 cos22m= n = 1,1A= 2,n又 0A n,所以 A= 3.因为 b+ c= ：3a,所以 sin B+ sin C= :3sin A= 2.-2n所以 sin B+ sinn化简得sin B+石因为0B2nn 5 n3，B+ 6所以n n ,、2 nB+石=5或亍所以常著点三正、余弦定理的实际应用nnnnB= , C= 2或B= , C=，所以 ABC为直角三角形. #正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试 题以解答题为主，难度一般.考点精要(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.利用方
11、位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.典例如图，渔船甲位于岛屿 A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿 A出发沿正北方向北In航行，若渔船甲同时从 B处出发沿北偏东 a的方向追赶渔船乙，刚好用小时追上.（1）求渔船甲的速度；求sin a的值.解 依题意，/ BA& 120 AB= 12 海里，AC= 10X 2= 20（海里），/ BCA=a . 在厶 ABC 中，由余弦定理，得 bC = aB + AC 2ABX A6 cos / BAC= 122 + 202 2X 12X 20X cos 120 = 784.解得BC= 28海
12、里.BC渔船甲的速度为 =14（海里/小时）. 在厶ABC中, AB= 12海里，/ BAC= 120 BC= 28海里，/ BCA= a ,由正弦定理,得 s_AB_sin aBCsin 120ABin 120BC12X2814 故sina的值为鲁3即 sin a#类题通法应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1) 读题.分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、 术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2) 图解.根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3) 建模.将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦 定理等有关知识正确求解；(4)
13、 验证.检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.题组训练1.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在 C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶 A的仰角是30,并测得水平面上的/ BCD- 120, CD= 40 m，则电视塔的高度为()D . 40 mA. 10 2 mB . 20 mC. 20 3 m解析：选D设电视塔的高度为 x m,贝U BC= x, BD- 3x.在厶BCD中，根据余弦定理得 3x2= x2+ 402 2X 40xx cos 120,即 x2 20x 800 = 0，解得 x = 40 或 x= 20(舍去).故电视塔的高度为40 m.2
14、.北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为1入阳m,则旗杆的高度为 m.7dr* *t9供解析：设旗杆高为hm,最后一排为点 A第一排为点B,旗杆顶端为点C,则BC= sin 602 .33h.在厶 ABC中, AB= 10 6,Z CAB= 45,/ ABC= 105所以/ ACB= 30,由正弦定理，得10 6 sin 30 sin 45，故 h= 30(m).答案：303. 某高速公路旁边 B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆
