《第8讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(培优课程讲义例题练习)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第8讲 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(培优课程讲义例题练习)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、b b 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解（提高） 【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范 围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】要点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程ax2+bx +c =0( a 0) 中， b2-4 ac叫做一元二次方程ax2+bx +c =0( a 0)的根的判别式，通常用“ D ”来表示，即D=b2-4 ac（1）当时，一元二次方程有 2 个不相等的实数根；（2）当时，一元二次方程有 2 个相等的实数根；（3）当时，一元二
2、次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：把一元二次方程化为一般形式；确定a , b.c的值；计算b2 -4 ac 的值；根据 b 2-4 ac的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程ax2+bx +c =0(a0)中，（1）方程有两个不相等的实数根2-4 ac0；（2）方程有两个相等的实数根2-4 ac=0；（3）方程没有实数根b 2 -4 ac0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为 0 这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则b2-4 ac0.要点二、一元二次方程的根与系数的
3、关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程ax2+bx +c =0( a 0)的两个实数根是x ，x12，1 2那么x +x =-1 2b c， x x =a a.注意它的使用条件为 a0， 0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系 数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 、x 的对称式的值此时，常
4、常涉及代数式的一些1 2重要变形；如：x 21+x 22=( x +x ) 1 22-2 x x1 2；1 1 x +x + = 1 2x x x x1 2 1 2； x x1 22+x 2 x =x x ( x +x ) 1 2 1 2 1 2；x x x 2 +x 2 2 + 1 = 1 2x x x x1 2 1 2=( x +x ) 2 -2 x x 1 2 1 2x x1 2；( x -x ) 1 22=( x +x ) 1 22-4 x x1 2；( x +k )( x +k ) =x x +k ( x +x ) +k 1 2 1 2 1 22；| x -x | = 1 2( x
5、-x ) 2 = ( x +x ) 2 -4 x x 1 2 1 2 1 2；1 1 x2 +x 2 + = 1 2x 2 x 2 x 2 x 2 1 2 1 2=( x +x ) 2 -2 x x 1 2 1 2( x x ) 21 2；x -x = ( x -x ) 1 2 1 22 = ( x +x ) 21 2-4 x x1 2；| x | +| x | = 1 2(| x | +| x |) 2 = x 2 +x 2 +2 | x 1 2 1 2 1x | = ( x +x ) 2 -2 x x +2 | x 2 1 2 1 2 1x |2(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；
6、以两个数为根的一元二次方程是 .(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程ax2+bx +c =0( a 0)的两根为 x 、 x ，则 1 2当0 且x x 01 2时，两根同号2 2 1 2 2 1 2 当0 且当0 且x x 01 2x x 01 2，x +x 0 1 2x +x 0 1 2时，两根同为正数；时，两根同为负数当0 且x x 01 2时，两根异号当0 且当0 且x x 01 2x x 0 1 2x +x 0 1 2时，两根异号且正根的绝对值较大；时，两根异号且负根的绝
7、对值较大要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的 D 一些考试中， 往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根 a + b ，则必有一根 a - b （ a ， b 为有理数）【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1（梅州）已知关于 x 的方程 x +2x+a2=0（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根【思路点拨】（1 已知方程有两个不相等的实数根，即判别 =b 4ac0即可得到关于 a 的不等式，从而求得 a 的范围（2）设方程的另一根为 x ，
8、根据根与系数的关系列出方程组，求出 a 的值和方程的另一根 【答案与解析】解：（1） b4ac=（2）41（a2）=124a0，解得：a3 a 的取值范围是 a3；（2）设方程的另一根为 x ，由根与系数的关系得：，解得： ，则 a 的值是1，该方程的另一根为3【总结升华】熟练掌握一元二次方程根的判别式与根之间的对应关系 举一反三：【变式 】（张家界）若关于 x 的一元二次方程 kx4x+3=0 有实数根，则 k 的非负整数值是（ ）A. 1B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,32 2 1 22 1 22 1 21 22 21 21 22 2 2 1 2【答案】A.提示：根据题意得 =1
9、612k0，且 k0， 解得：k ，且 k0.则 k 的非负整数值为 12.已知关于 x 的一元二次方程 5m 【答案】且 m14( m -1)x2+x +1 =0有实数根，则 m 的取值范围是_【解析】因为方程( m -1)x 2 +x +1 =0有实数根，所以=12 -4( m -1) =-4m +5 0，解得m 54，同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为 0，即( m -1) 0， m 的取值范围是m 54且 m1【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为 0，即 举一反三：( m -1) 0，m1【变式 】已知：关于 x 的方程1k 且k 0 【答案】.2kx2k+ ( k +
10、 1) x + = 04有两个不相等的实数根,求 k 的取值范围.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3. （绥化）关于 x 的一元二次方程 x +2x+2m=0 有两个不相等的实数根 （1）求 m 的取值范围；（2）若 x ，x 是一元二次方程 x+2x+2m=0 的两个根，且 x +x=8，求 m 的值【思路点拨】 （1）根据方程根的个数结合根的判别式，可得出关于 m 的一元一次不等式，解不等 式即可得出结论；（2 ）根据方程的解析式结合根与系数的关系找出 x +x = 2 ， x x =2m，再结合完全平方公式可得出x +x =2x x ，代入数据即可得出关于关于 m 的一元一次方
11、程，解方程即可求出 m 的值，经验值 m=1 符合题意，此题得解【答案与解析】解：（1）一元二次方程 x +2x+2m=0 有两个不相等的实数根， 412m=48m0，解得：m m 的取值范围为 m （2）x ，x 是一元二次方程 x +2x+2m=0 的两个根，2 2 1 21 21 2- 5 1 2 2 x1+x2=2，x1x2=2m，x+x =2x1x2=44m=8，解得：m=1当 m=1 时，8m=120m 的值为1【总结升华】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、解一元一次不等式以及解一元一次方程，解题 的关键是：（1）结合题意得出 48m0；（2）结合题意得出 44m=8本题属于基础题，难 度不大，解决该题型题目时，根据方程根的个数结合根的判别式得出不等式是关键举一反三：【变式】不解方程，求方程 2 x13【答案】（1）； （2）3 42+ 3 x - 1 = 0的两个根的（1）平方和；（2）倒数和4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程5 x
