《增分点圆锥曲线中的定点、定值问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《增分点圆锥曲线中的定点、定值问题（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、增分圆锥曲线中的定点、定值问题求解(或证明)直线和曲线过定点的基本思路是：把直线或曲线方程中的变量x, y视作常数，把方程一边化为零，既然是过定点，那么这个方程就是对任意参数都成立，这时参 数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x, y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.典例已知椭圆 C：%看=1(280),四点 Pi(1,1) E(0,1),P 1,当,P4 1,当 中恰有三点在椭圆 C上.(1)求C的方程；(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两点.若直线BA与直线P2B的斜率的和为 1,证明：l过定点.解题师说x22(1)本题第(2)问的关键是斜率存在
2、时，设 l : y= kx+ n(m 1),然后与椭圆方程 + y=1联立，再设两个交点坐标，根据题目条件“直线F2A与直线BB的斜率之和为1”，导出k与m的关系，最后根据方程特点说明直线过定点.(2)圆锥曲线中定点问题的 2种解法引进参数法引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量 与参数何时没有美系，找到定点特殊到一般根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关法应用体验22x y ，、一 一，一，一一，1 .若直线l : y= kx+m与椭圆C： +2 = 1相交于A, B两点(A, B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线 l过
3、定点，并求出该定点的坐标.解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而 始终是一个确定的值.解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化 中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例 关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个值.典例已知椭圆C：孑+(=1( ab0)的左焦点Fi(、J6, 0), e=2-.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，设R(x0, y0)是椭圆C上一动点，由原点 O向圆(x X0)2+(yy0
4、)2=4引两条 切线，分别交椭圆于点 P, Q若直线OR OQ勺斜率存在，并记为 ki, k2,求证：kk为定 值；(3)在(2)的条件下，试问| OP2+| OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明 理由.解题师说定值问题常见的2种求法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)引进变量法：其解题流程为i嵬屋施当画,彖5 J通,系薪火芟五】 函数一：京叠东山省鹿植后高五示威工还英豪的函就国理 H把得到的函融化筒，甫去变量得到定倒应用体验2 .已知点A, B的坐标分别为(_小,0), (43, 0),直线AP, BP相交于点P,且它们2的斜率之积为一-.3(1)求点P的轨
5、迹方程；(2)设点P的轨迹为 C,点M N是轨迹C上不同于 A, B的两点，且满足 AP/ OM BP/ON求证： monj面积为定值.升级增分训练3 .已知抛物线 C: y2=2px(p0)的焦点F(1,0) , O为坐标原点，A, B是抛物线C上异 于O的两点.(1)求抛物线C的方程；1(2)若直线OA OB的斜率之积为一万，求证：直线 AB过x轴上一定点.4 .已知结论：若点 P(x0, y(o)为椭圆x2 + p= 1上一点，则直线l : Xax+ y0y= 1与椭圆 相切.现过椭圆 C:卷+)=1上一点P作椭圆的切线交直线 x=955于点A,试判断以线段 AP为直径的圆是否恒过定点，
6、若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.223.已知椭圆C： / + b2= 1(ab0)的离心率为3 325,过左焦点f且垂直于长轴的弦长为了(1)求椭圆C的标准方程;(2)点Rm,0)为椭圆C的长轴上的一个动点,4过点P且斜率为5的直线l交椭圆C于A,B两点,证明：| PA2+I PB2为定值.4.已知椭圆 C：勺+卜=1( ab0)的左、右焦点分别为Fi, F2,离心率为点 Aa b2是椭圆上任意一点， AFF2的周长为4+23.(1)求椭圆C的方程；(2)过点Q 4,0)任作一动直线l交椭圆C于M N两点，记7MQ=入QJ,若在线段 MN取一点R,使得MR一 =入RNF-,则当直线l转
7、动时，点R在某一定直线上运动， 求该定直线的方程.22典例已知椭圆C：，点=1(ab0)中恰有三点在椭圆 C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过的点且与C相交于A, B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为1,证明：l过定点.思路演示解：(1)由于P3P4两点关于y轴对称,故由题设知椭圆C经过P3,P4两点.又由1+、工+ a ba椭圆C不经过点R,所以点P2在椭圆C上.1I1,因此M1,a4ba2= 4, 解得b2.2X故椭圆C的方程为x4+ y2= 1.(2)证明：设直线 P2A与直线P2B的斜率分别为ki, k2.如果l与x轴垂直，设l: x=t,由题设知tw0,且|t|0.设
8、 A(xi, yi) , Rx2, y2),28km4m4则 xi+x2= -4kZ7, xix2=4kl.而 ki+k2= j+y二1 xix2kxi mi kx2 m ixix22kx仅2+i xi + x2-.xix2由题设ki+k2= i,故(2k+ i)xix2+ (mi-1)( xi + x2)= 0.,2厂 ,4m 48kmsp(2k+i) -4k2Ti + (A 叩=0.解得k=一号.一i 一i一一当且仅当 n- i 时，A0,于是 l : y=2-x+m 即 y+ i = - -2(x-2),所以 l过定点(2 , - i).解题师说x22(i)本题第(2)问的关键是斜率存在
9、时，设 l： y=kx+n(m i),然后与椭圆万程 + y=i联立，再设两个交点坐标，根据题目条件“直线P2A与直线P2B的斜率之和为i”，导出k与m的关系，最后根据方程特点说明直线过定点.(2)圆锥曲线中定点问题的2种解法引进参数法引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量 与参数何时没有美系，找到定点特殊到一般法根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关应用体验22x y ， 、 一，一， ,一，1 .若直线l : y= kx+m与椭圆C： +：=i相交于 A B两点(A, B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点，求证：直线 l过定点，并
10、求出该定点的坐标.证明：设椭圆 C的右顶点为 A(2,0) , A(xi, yi), B(x2, y ,则AAAB,联立方程得(4 k2 + 3) x2+ 8km刈 4m2- 12=0,则 X1+ X2=一8km4k2 + 3X1X2 =4m2 124k2+3，. 2所以 A1A , AiB = (Xi 2)( X2 2) + yiy2=(Xi - 2)( X2 2) + ( kXi+ m)( kX2+ m)=(k2+ 1) X1X2+ ( km- 2)( Xi + X2) + 4+ m24m12 k2+1r24k +38km km- 24k2 + 3卜 4+ m2= 0,22整理得7rm+1
11、6m6 4 k2-4k =0-2,解得m= 7k或一2k.2222当 m= 7k时，y=kX-k=k x 7 ,过定点-,0 ；当m= 2k时，y=kX-2k,过定点（2,0）,即过椭圆右顶点，与题意矛盾.2所以直线i过定点7, 0.定值问题解析几何中的定值问题是指某些几何量（线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等）的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而 始终是一个确定的值.解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路是：定值问题必然是在变化 中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例 关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不
12、受变化的量所影响的一个值.22典例（2018 沈阳质检）已知椭圆C： a2 + b2=1（ab0）的左焦点F1（，6, 0）,（1）求椭圆C的方程;(2)如图，设R(xo, y。是椭圆C上一动点，由原点 O向圆(x xo)2+(yyo)2=4引两条 切线，分别交椭圆于点 P, Q若直线 OR OCW斜率存在，并记为 ki, k2,求证：kik2为定 值；(3)在(2)的条件下，试问| OP2+| OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明 理由.思路演示解：(1)由题意得，c=6, e=T=， a 2解得a=2，3, b=乖,.椭圆C的方程为+=1.12 6(2)证明：由已知，直线 OP
13、 y=kix, OQ y=k2x,I kixo- yo|且与圆R相切，-= = 2,/l + kT化简得(x0 4) k1 2xoyoki+ y0 - 4= 0,同理,可得(x24) k22xoyok2+y04= 0, .ki, k2是方程(x2 4)k22xoyok+y24=0的两个不相等的实数根，2)2y。一 4 x。 4w 0, A 0) k*2= x2 4.22，一一x0 y0点R(x0, v0在椭圆C上，行+ 6=1，1 221 22 2x01即 yo=6 2x0,k1k2=x = 2(定值).(3)| OP2+IOQ2 是定值.设 P(x1, y1) , Qx2, y2),y= k1x,212解得2y1=x1=1 + 2k，12k17-21 + 2kJx1 + y1 =12 1 + k27-21 + 2k1同理，可得x2 + y2 =.212 1 + k2事一 1 /曰 icm2 -小22222 12 1 + k212 1 + k212 1 + k2由 k1k2=一付 + 2k2 0P + | OQ = X1+ y1 + X2 + y2= .9 2 +9,2 = d , 9.2 +2I 十 2k1I 十 2k2I 十 2k1
