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1、北京各区二模理科数学分类汇编导数(2015届西城二模)18（本小题满分13 分）已知函数则，其中a R 当时，求 f (x)的单调区间； 当a 0时，证明：存在实数m 0，使得对于任意的实数x，都有 f (x)m成立18.（本小题满分13分）（）解：当时，函数， 其定义域为. 1分 求导，得， 4分 所以函数在区间，上单调递减. 5分（）证明：当时，的定义域为. 求导，得， 6分 令，解得， 7分 当变化时，与的变化情况如下表：+00+ 10分 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 又因为，当时，；当时， 所以当时，；当时，. 12分 记，其中为两数， 中最大的数， 综上，当时，存在实数，使
2、得对任意的实数，不等式恒 成立. 13分(2015届海淀二模)（18）（共13分）解：（）令，得. 故的零点为. 1分（）. 3分令 ，解得 . 当变化时，的变化情况如下表：所以 的单调递减区间为，单调递增区间为. 6分（）令.则. 7分因为 ，且由（）得，在内是减函数，所以 存在唯一的，使得.当时，.所以 曲线存在以为切点，斜率为6的切线. 10分由得：.所以 .因为 ,所以 ，.所以 . 13分(2015届东城二模)（18）（本小题共13分）已知函数 （）当时，求在区间上的最小值； （）求证：存在实数，有.（18）（共13分）解：（）当时，. 因为， 由，. 则， 关系如下： 极小值 所以
3、当时，有最小值为. 5分（）“存在实数，有”等价于的最大值大于. 因为， 所以当时，在上单调递增， 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 当时，由得. 则时， 关系如下： 极小值（1）当时 ， ，在上单调递减，所以的最大值. 所以当时命题成立.（2）当时， ，所以在上单调递减，在上单调递增. 所以的最大值为或. 且与必有一成立， 所以当时命题成立.（3） 当时 ，所以在上单调递增， 所以的最大值为. 所以当时命题成立. 综上：对任意实数都存在使成立. 13分(2015届丰台二模) 20.（本小题共13分）已知函数 ().（）求函数的最大值；（）如果关于的方程有两解，写出的取值范围（只需写出结论
4、）；（）证明：当且时，20.（本小题共13分）解：（）函数的定义域为 因为，所以 因为，所以当时， 当时，在上单调递增；当 时，在上单调递减 所以当时， 6分（）当时，方程有两解 8分（）由（）得，变形得，当等号成立所以， ， ，所以得到 当且时， 10分由（）得 ，变形得 ，当等号成立所以，所以得到 当且时，又因为，所以当且时， 13分(2015届昌平二模) 18.（本小题满分13分）已知函数（I）若函数在处的切线垂直于轴，求实数a的值；(II) 在（I）的条件下，求函数的单调区间；(III) 若恒成立，求实数a的取值范围.18.（本小题满分13分）解：（I）定义域为 依题意，.所以，解得
5、4分 （II）时，定义域为， 当或时,， 当时，故的单调递增区间为，单调递减区间为.-8分（III）解法一：由，得在时恒成立，令，则 令，则在为增函数， .故，故在为增函数. ，所以 ，即实数的取值范围为. 13分 解法二：令，则，（i）当，即时，恒成立，在上单调递增，即，所以； (ii)当，即时，恒成立，在上单调递增，即，所以；(iii)当，即或时，方程有两个实数根若，两个根，当时，在上单调递增，则，即，所以；若，的两个根，且在是连续不断的函数所以总存在，使得，不满足题意.综上，实数的取值范围为. 13分 （2015届朝阳二模）19.（本题14分）已知函数。（）当时，求函数的单调区间。（）若在区间上存在不相等的实数，使成立，求的取值范围；（）若函数有两个不同的极值点，求证：。
