《人教版 高中数学【选修 21】2.4.2抛物线的简单几何性质课后习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版 高中数学【选修 21】2.4.2抛物线的简单几何性质课后习题（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2019人教版精品教学资料高中选修数学2.4.2抛物线的简单几何性质课时演练促提升A组1.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=()A.2B.2C.4D.2解析:由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),则点M到焦点的距离为xM+=2+=3,p=2.抛物线方程为y2=4x.点M(2,y0)在抛物线y2=4x上,=42.y0=2.|OM|=2.答案:B2.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是()A.B.-2,2C.-1,1D.-4,4解析:设直线方程为y=
2、k(x+2),与抛物线方程联立,得消去x,得到关于y的方程ky2-8y+16k=0.当k=0时,上述方程有解,所以直线与抛物线有公共点;当k0时,应有0,即64-64k20,解得-1k1且k0.综上可知,l斜率的取值范围是-1,1.答案:C3.经过抛物线y2=2px(p0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则的值是()A.4B.-4C.p2D.-p2解析:采用特例法,当直线与x轴垂直时,易得A,B,故=-4.答案:B4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F且倾斜角等于的直线与抛物线在x轴上方的曲线交于点A,则|AF|的长为()A.2B.4C.6D.8解析:由已知
3、得直线AF的方程为y=(x-1).代入y2=4x,得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.当x=3时,y=2;当x=时,y=-,则A(3,2),故|AF|=3+1=4.答案:B5.过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,若A,B在准线上的射影为A1,B1,则A1FB1等于()A.45B.90C.60D.120解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以AA1F=AFA1.又因为AA1F=A1FO,所以AFA1=A1FO,同理BFB1=B1FO,所以AFA1+BFB1=A1FO+B1FO=A1FB1.故A1FB1=90.答案:B6.AB是过抛物
4、线x2=4y焦点的弦,且|AB|=10,则AB的中点的纵坐标为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p=y1+y2+2=10,即y1+y2=8,故AB的中点的纵坐标为4.答案:47.以抛物线y2=8x上的任意一点为圆心作圆与直线x+2=0相切,则这些圆必过一定点,则这一定点的坐标是.解析:直线x+2=0即为抛物线的准线,依题意,圆心在抛物线上,圆心到准线的距离应等于它到定点的距离,该定点必为抛物线的焦点(2,0).答案:(2,0)8.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,求这个正三角形的边长.解:如图,设正三角形OAB的顶点
5、A,B在抛物线上,且坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则=2px1,=2px2.OA=OB,即+2px1-2px2=0,整理得(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.x10,x20,2p0,x1=x2.由此可得|y1|=|y2|,即线段AB关于x轴对称.由此得AOx=30,y1=x1.与=2px1联立,解得y1=2p,AB=2y1=4p.9.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线l,被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.解:当抛物线焦点在x轴正半轴上时,可设抛物线标准方程是y2=2px(p0),则焦点F,直线l为y=x-.设直线l与抛物线的交点A(x
6、1,y1),B(x2,y2),过A,B分别向抛物线的准线作垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1,则|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=x1+x2+p=6,故x1+x2=6-p.由消去y,得=2px,即x2-3px+=0,则x1+x2=3p.代入式,得3p=6-p,解得p=.故所求抛物线的标准方程是y2=3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时,用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2=-3x.B组1.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F作直线交抛物线C于A,B两点,则AOB的最小面积是()A.B.2C.4D.1解析:设AB的倾斜角为,由弦长公式得|AB|=.原点O到直线AB
7、的距离d=sin ,SAOB=sin .当sin =1时,(SAOB)min=2,故选B.答案:B2.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点A在C上且|AK|=|AF|,则AFK的面积为.解析:如图,y2=8x的焦点F(2,0),准线x=-2,K(-2,0).作AHKH交准线于点H,则|AH|=|AF|.|AK|=|AF|,则|AK|=|AH|,AHK为等腰直角三角形,则AFK为等腰直角三角形,|AF|=|KF|=4.SAFK=|AF|KF|=8.答案:83.在直角坐标系xOy中,已知抛物线y2=2px(p0),过点(2p,0)作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,
8、y2)两点,给出下列结论:(1)OAOB;(2)AOB的最小面积为4p2;(3)x1x2=-4p2.其中正确的结论是.解析:设直线AB的方程为x=my+2p,代入y2=2px,得y2-2pmy-4p2=0,y1+y2=2pm,y1y2=-4p2.x1x2=(my1+2p)(my2+2p)=m2y1y2+2pm(y1+y2)+4p2.y1y2+x1x2=-4p2+m2(-4p2)+2pm(2pm)+4p2=0.OAOB.SAOB=|2p|y1-y2|.而|y1-y2|=,显然,当m=0时,|y1-y2|min=4p,=4p2.故(1)(2)正确;y1y2=-4p2,x1x2=4p2.故(3)不正
9、确.答案:(1)(2)4.RtAOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y=x,AOB的面积为6,求该抛物线的方程.解:因为OAOB,且OA所在直线的方程为y=x,所以OB所在直线的方程为y=-x.由得点A坐标,由得点B坐标为(6p,-2p).|OA|=|p|,|OB|=4|p|,SOAB=|OA|OB|=p2=6,所以p=.即该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.5.抛物线y=-与过点M(0,-1)的直线l相交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA和OB的斜率之和为1,求直线l的方程.解:如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=kx-1.则k=-.由kOA+kOB=1,且y1=-,y2=-,得-=1,即-=1.于是k=1,所以直线l的方程为y=x-1.
