《复数的几何意义及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数的几何意义及应用（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、复数的几何意义及应用(一)问题探索问题1：复数z的几何意义？设复平面内点Z表示复数z=a+bi(a, b = R),连结OZ,则点乙OZ，复数z= a+bi (a, bR)之间具有对应关系。直角坐标系中的点Z(a,b)对应对应复数z=a+bi对应向量OZ问题2： I z丨的几何意义？若复数z= a+bi (a, bR)对应的向量是OZ ,则向量是OZ 的模叫做复数 z= a+bi (a, bUR)的模，lzl= oZ =1 a+bi l=%a2 + b2 (a, bUR)。问题3： I z-z丨的几何意义？两个复数的差Z -z = Z所对应的向量就是连结ZZ并1 2 1 2 1 2 且方向指向
2、(被减数向量)的向量，d 二 |z z | 二 Z Z =J(x x )2 + (y y )212 2 1 1 2 1 2(二)探索研究 根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内下列曲线的方程： 1圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)设Z(x，y)以%xo,yo)为圆心,r(r0)为半径的圆上任意一点,则 Izz。 = r (r0)(1) 该圆向量形式的方程是什么?(2) 该圆复数形式的方程是什么?(3) 该圆代数形式的方程是什么?ZZ o = r （r0）z z = r （r0）0（x x ）2 + （y y ）2 = r2（r0） 002.椭圆的定义:平面内与两定点召，Z
3、2的距离的和等于常数(大于了2|)的点的集合(轨 迹)设Z(x, y)是以Z (x , y ) Z (x , y )为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点，1 1 2 2 2 2则 |ZZ | + ZZq | = 2a (2a |Z Z |)(2a |ZZ I)1 1 212)该椭圆复数形式的方程是什么？z 一 z + z 一 z = 2a1 2(2a Z Z )1 2(1)该椭圆向量形式的方程是什么？纟+ ZZ2 = 2a变式:以Z (x, y ) Z (x , y )为端点的线段1 1 2 2 2 2(1) 向量形式的方程是什么？ jZFj + |ZZ | = 2a(2a = ZZ |)1
4、 2 1 2(2) 复数形式的方程是什么？ |z - zj + |z - z21 = 2a (2a =呂Z2|)3.双曲线的定义:平面内与两定点Z, Z2的距离的差的绝对值等于 常数(小于|Z1ZJ)的点的集合(轨迹)设Z(x, y)是以Z (x , y ) Z (x , y )为焦点，2a为实轴长的双曲线的上1 1 2 2 2 2任意一点,贝J |ZZ | - |Z| = 2a(2a |ZZ |)(2a |ZZ I)12(1)该双曲线向量形式的方程是什么？ ZZ - ZZ = 2a1 2(2)该椭圆复数形式的方程是什么？ |z - z1 - z - z2| = 2a(2a 0了2|)变式:射
5、线(2a = |ZZ I)12(1)向量形式的方程是什么？可-可 =2a1 22)复数形式的方程是什么？lz - z1I-lz -z 2I= 2a(2a = |Z)变式：以Z1(32)Z2(2)为端点的线段的垂直平分线(1)该线段向量形式的方程是什么？ ZZ - ZZ22)该线段复数形式的方程是什么?=2a (2a = 0)即 ZZ】z - z |- |z - z1 2=ZZ2=2a (2a = 0)即z - z1(三)应用举例例1.复数z满足条件丨z+2 | - | z-2 | =4， 则复数 z 所对应的点 Z 的轨迹是( ) ( A) 双曲线(C)线段答案：(D) 条射线变式探究：(1)
6、( 2)( 3 )( 4)( 5 )( 6 )(B)双曲线的右支(D)射线若复数 z 所对应的点 若复数 z 所对应的点 若复数 z 所对应的点 若复数 z 所对应的点 若复数 z 所对应的点 若复数 z 所对应的点ZZZZZZ的轨迹是两条射线，复数 z 应满足什么条件？ 的轨迹是线段，复数 z 应满足什么条件？ 的轨迹是双曲线的右支，复数 z 应满足什么条件？ 的轨迹是双曲线，复数 z 应满足什么条件？ 的轨迹是椭圆，复数 z 应满足什么条件？ 的轨迹是线段的垂直平分线，复数 z 应满足什么条件？例 2若复数z满足条件同=1,求z - 2i的最值。解法1：(数形结合法)由IZ = 1可知，z
7、对应于单位圆上的点Z；|z -2i表示单位圆上的点Z到点P (0, 2)的距离。由图可知，当点Z运动到A(0，1)点时，z-2i=1，此时 z=i；min当点Z运动到B(0，-1)点时，z 一 2i = 3 ,此时z=-i。max解法2：(不等式法) |zj - |z2 |Z + z z |+ |z |z|-|2i| |z - 2i| |Z + |2i|z = l,|2i| = 2，1 |z - 2i| 3解法 3：(代数法)设 z 二 x + yi(x, y e R)，则 x2 + y2 = 1z 2i x + yi 2i=Jx2 +(y _ 2)2当 y 1，即 z i 时，|z 2i| .|y| 1，即-1 y 1min3=3, max当 y 1，即 z i 时，|z _ 2i|解法 4：(性质法) |z 2i卩(z 2i)(z 2i) (z 2i)(z 2i) (z 2i)(z + 2i)z - z + 2( z 一 z )i + 4 5 + 4 yi|y| 1，即-1 y 03.已知实数x,y满足条件 0, z = x + yi(i为虚数单位),x 3则I z 1 + 2/1的最大值和最小值分别是
