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1、第三讲 两个重要极限、函数连续一、极限存在准则、两个重要极限1、夹逼准则2、单调有界收敛准则3、两个重要极限（1）lim三=1；（表面特性lim平，本质特性“ 0 ”）XT0 xT0 LJ0(2)lim + 匚XTIX J1 );(表面特性lim 1+-T8 k J J=e，本质特性“ 1。）有用变形:(1 nlim 1 + = e.limG +1) t = e.t T0rlim 1 +h (x)Th( x) Jtan sin x例1 求lim.xT0xtansin x tan sin x sin x、 , 解 lim = lim( -) = 1.xT0xxT0sin x x1 - cos x
2、例2求lim .解xT0x 22limxT0x4sin2 1 - cos x2=lim匕xT01 x 22=limx 2xT0sin-二xsin2 x1、,(或者原式=2lim( ) = 1xT0 x 21 + cos x xx求 lim 2 n sin.ns2 nsin解 lim 2n sin 三=lim2 x = x,xns5ns 2 n注意:例4 sin x limx s xarcsin x 求limxT0解令arcsinx = t，则x = sint，又当x 0时有t 0,所以arcsin x t -lim= lim = 1.xT0xt T0 sin t一 r 一 1 例5 求 lim
3、|1- xTk x Jr2 n+1例 6lim|1 + nTkn J例 7lim x1 2 xXT0limxs例10lim堕JXT0ax 1limXT0 X(a 0, a 1)(a 0, a 1)(令 t = ax 1)课堂练习：求X J1)XT。tan x2六、无穷大量与无穷小量1、无穷大量：lim f 1)=8 ；xT x02、无穷小量：lim f (x)= 0xT x03、无穷大量与无穷小量的关系：定理 lim f (x)=8 0 lim ) = 0.或lim f (x)= 0, f (x) 0 o lim-f(x) = 84、无穷小的比较：(1) 若lim 2 = 0，则称p是a的高阶
4、无穷小,记作：P=。(以)；以4 P(2) 若lim =8，则称P是a的低阶无穷小；a P 八(3) 若lim = 0(*丰0)，则称p是a的k阶无穷小；a kp八(4) 若lim = c卫0，则称P与a是同阶无穷小；a(5) 若lim P = 1,则称P与a是等价无穷小，记作：pa .a3. 无穷小的运算性质，性质1有限多个无穷小的代数和仍为无穷小.，性质2有界函数与无穷小之积为无穷小.推论1常数与无穷小之积为无穷小.推论2有限多个无穷小之积也是无穷小sin x2 x例：(1) lim； (2) limxT8 xxT1 x 2 一 1七、连续函数xT x01、定义：lim f (x) = f
5、 (x0)，则称函数y = f (x)在点x0处连续.2、 函数连续的充要条件：lim f=f (x ) o f 3 - 0) = f 3 + 0) = f (x )IX000003、函数的间断点：间断点分为两大类型：第一类间断点X0是函数f G)间断点，若f (x0 - 0)、f (x0 + 0)都存在，则称X0为第一 类间断点.它又可细分为两小类：(1) lim f (x) = A丰f (x )(含f (x )不存在)，则x为可去间断点(可补充或修改函xtx0000数在此点的定义使其连续)；(2) 若f (x -0) = A, f (x + 0) = B，但A丰B，则x为跳跃间断点.000
6、第二类间断点 若f (x0 - 0)、f (x0 + 0)中至少有一个不存在，则称x0为第二类间断点.-、 x 1例1、求f (x)-的间断点，并判断其类型.x 2 1解因为x = 1时函数f (x)无定义，故 1为f (x)的间断点.当x = 1时，lim1 =1,x = 1为f (x)的第一类可去间断点；此时若补充 xf x2-1 2定义f=：，则f (x)在x =1处连续.x -1, x 0;例2讨论f (x) = 0.解 因为lim f (x) = lim( x -1) = -1,xT0xT0-lim f (x) = lim (x +1) = 1,xT0+xT0+二者都存在但不相等，所
7、以x = 0为f (x)的第一类跳跃间断点(如图所示).4、一切初等函数在其定义区间内都书5、连续函数的性质： 最大值和最小值定理；有界性定理；零点定理；介值定理例题：若f G)在b,1上连续，且0 V f G) 1,证明：至少存在一点& e (0,1),使 f G)=&.提示：设F(x) = f (x) - x，证明F(x)满足零点定理。练习题：x + a,x 0.3.求下列极限:(1) lim(cos 2x力xt4-(2 x-1 limcos ln|1+ xT8 x 2 J f (x)=注a + arccos x,.x V -1;x = -1;-1 V x 1.(2)lim丑xT2sin
8、x; x1(3) limex ；xT8(5)lim-xT0ex e 2 x;x(6) lim(cos x) x2.xT01.求下列函数的间断点，并指出其类型.如果是可去间断点，则补充定义使其连续:x 2 - 1(1) y =；(2) y =xcos ； (3) y = (1 +2x 2 3 x + 2xsin x八I x -1, x 0;,x 丰 0;(4) y =c (5) y = 0.1, x = 0.2.确定常数a,b使下列函数连续:4.试证下列方程在指定区间内至少有一个实根： x3 + 2x2 -1 = 0,在区间(0,1)；(2) x = ex -2，在区间(0,2).利用零点定理解答下列各题1、证明方程x4 3x +1 = 0在(1,1)内有实根。2、证明方程方程x5 + 5x4 -5 = 0有且仅有一个正实根。3、设f (x)在0,1上连续，且f (0) = 0, f=1 ,证明至少存在一点 e (0,1)使得 f (&) = 1-&。4、设函数f G)在a,b上连续，且f (a )V a , f (b) b证明至少存在&e(a,b),使得f G)=&
