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1、 板块命题点专练(四)导数及其应用 (研近年高考真题找知识联系，找命题规律，找自身差距)命题点一导数的运算及几何意义 命题指数：难度：中、低 题型：选择题、填空题、解答题1(2014大纲全国卷)曲线yxex1在点(1,1)处切线的斜率等于()A2eBeC2 D12(2014新课标全国卷)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a()A0 B1C2 D33(2013江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.4(2014江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2(a，b为常数)过点P(2，5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30
2、平行，则ab的值是_.命题点二导数的应用 命题指数：难度：高、中 题型：选择题、解答题1(2012辽宁高考)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)2(2014新课标全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1， )单调递增，则k的取值范围是()A(，2 B(，1 C2，) D1，)3(2013浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()A当k1时，f(x)在x1处取到极小值B当k1时，f(x)在x1 处取到极大值 C当k2时，f(x)在x1处取到极小值 D当k2时，f(x)在x1处取到极大值 4(2014江西
3、高考)在同一直角坐标系中，函数yax2x与ya2x32ax2xa(aR)的图象不可能的是()5(2014陕西高考)设函数 f(x)ln x，m R.(1)当me(e 为自然对数的底数)时，求 f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)f(x)零点的个数；(3)若对任意ba0，1 恒成立，求 m的取值范围6.(2014北京高考)已知函数f(x)xcos xsin x，x.(1)求证：f(x)0；(2)若a0)，若f(x)在1,1上的最小值记为g(a)(1)求g(a)；(2)证明：当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.命题点三定积分 命题指数：, 难度：中、低 题型：选择题、填空题1(2014江西高
4、考)若f(x)x22f(x)dx，则f(x)dx()A1 BC. D12(2014山东高考)直线y4x与曲线yx3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A2 B4C2 D43(2013江西高考)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()AS1S2S3 BS2S1S3CS2S3S1 DS3S20)，所以f(x)1，所以f(1)2.答案：24解析：yax2的导数为y2ax，直线7x2y30的斜率为.由题意得解得则ab3.答案：3命题点二1选B函数yx2ln x的定义域为(0，)，yx，令y0，则可得01时，f(x)k0恒成立，即k在区间(1，)上恒成立因为x1，所以
5、01，所以k1.故选D.3选C法一：当k1时，f(x)(ex1)(x1)，0,1是函数f(x)的零点当0x1时，f(x)(ex1)(x1)1时，f(x)(ex1)(x1)0,1不会是极值点当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，零点还是0,1，但是当0x1时，f(x)0，由极值的概念，知选C.法二：当k1时，f(x)(ex1)(x1)，f(x)xex1，f(1)0，故A、B错；当k2时，f(x)(ex1)(x1)2，f(x)(x21)ex2x2(x1)(x1)ex2，故f(x)0有一根为x11，另一根x2(0,1)当x(x2,1)时，f(x)0，f(x)递增，f(x)在x1处取得极小值故选C.
6、4选B分两种情况讨论：当a0时，函数为yx与yx，图象为D，故D有可能；当a0时，函数yax2x的对称轴为x，对函数ya2x32ax2xa求导得y3a2x24ax1(3ax1)(ax1)，令y0，则x1，x2，所以对称轴x介于两个极值点x1，x2之间，A，C满足，B不满足，所以B不可能故选B.5解：(1)由题设，当me时，f(x)ln x，则f(x)，当x(0，e)，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递减，当x(e，)，f(x)0，f(x)在(e，)上单调递增，xe时，f(x)取得极小值f(e)ln e2，f(x)的极小值为2.(2)由题设g(x)f(x)(x0)，令g(x)0，得mx3x
7、(x0)设(x)x3x(x0)，则(x)x21(x1)(x1)，当x(0,1)时，(x)0，(x)在(0,1)上单调递增；当x(1，)时，(x)0，(x)在(1，)上单调递减x1是(x)的唯一极值点，且是极大值点，因此x1也是(x)的最大值点，(x)的最大值为(1).又(0)0，结合y(x)的图象(如图)，可知当m时，函数g(x)无零点；当m时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点；当m0时，函数g(x)有且只有一个零点综上所述，当m时，函数g(x)无零点；当m或m0时，函数g(x)有且只有一个零点；当0m时，函数g(x)有两个零点(3)对任意的ba0，1恒成立等价于
8、f(b)bf(a)a恒成立(*)设h(x)f(x)xln xx(x0)，(*)等价于h(x)在(0，)上单调递减，由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x2(x0)恒成立，m，m的取值范围是.6解：(1)证明：由f(x)xcos xsin x得f(x)cos xxsin xcos xxsin x.因为在区间上f(x)xsin x0，所以f(x)在区间上单调递减从而f(x)f(0)0.(2)当x0时，“a”等价于“sin xax0”；“b”等价于“sin xbx0”令g(x)sin xcx，则g(x)cos xc.当c0时，g(x)0对任意x恒成立当c1时，因为对任意x，g(x)cos xc
9、0，所以g(x)在区间上单调递减从而g(x)g(0)0对任意x恒成立当0c1时，存在唯一的x0使得g(x0)cos x0c0.g(x)与g(x)在区间上的情况如下：x(0，x0)x0g(x)0g(x)因为g(x)在区间0，x0上是增函数，所以g(x0)g(0)0.进一步，“g(x)0对任意x恒成立”当且仅当g1c0，即0c.综上所述，当且仅当c时，g(x)0对任意x恒成立；当且仅当c1时，g(x)0对任意x恒成立所以，若ab对任意x恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1.7解：(1)因为a0，1x1，所以()当0a1时，若x1，a，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(a,
10、1)上是增函数；所以g(a)f(a)a3.()当a1时，有xa，则f(x)x33x3a，f(x)3x230，故f(x)在(1,1)上是减函数，所以g(a)f(1)23a.综上，g(a)(2)证明：令h(x)f(x)g(a)，()当0a1时，g(a)a3.若xa,1，h(x)x33x3aa3，得h(x)3x23，则h(x)在(a,1)上是增函数，所以h(x)在a,1上的最大值是h(1)43aa3，且0a0，知t(a)在(0,1)上是增函数所以t(a)t(1)4，即h(1)4.故f(x)g(a)4.()当a1时，g(a)23a，故h(x)x33x2，得h(x)3x23，此时h(x)在(1,1)上是减函数，因此h(x)在1,1上的最大值是h(1)4.故f(x)g(a)4.综上，当x1,1时，恒有f(x)g(a)4.命题点三1选Bf(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx.f(x)dx.2选D由4xx3，解得x0或x2或x2(舍去)，根据定积分的几何意义可知，直线y4x与曲线yx3在第一象
