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1、-微积分几何复习题 本科第一部分：练习题库及答案一、填空题（每题后面附有关键词；难易度；答题时长）第一章1已知，则这两个向量的夹角的余弦=2已知，求这两个向量的向量积(-1,-1,-1)3过点且与向量垂直的平面方程为*-Z=04求两平面与的交线的对称式方程为5计算6设，求07已知，其中，则8已知，则9已知，求，其中，10已知（为常向量），求11已知，（为常向量），求12已知，则第二章13曲线在任意点的切向量为14曲线在点的切向量为15曲线在点的切向量为16设有曲线，当时的切线方程为17设有曲线，当时的切线方程为第三章18设为曲面的参数表示，如果，则称参数曲面是正则的；如果是 一一的，则称参数曲
2、面是简单的19如果曲线族和曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网(坐标网;易;3分钟)20平面的第一基本形式为，面积元为21悬链面的第一类基本量是,22曲面上坐标曲线，的交角的余弦值是23正螺面的第一基本形式是24双曲抛物面的第一基本形式是25正螺面的平均曲率为0（正螺面、第一基本量、第二基本量；中；3分钟）26方向是渐近方向的充要条件是或27两个方向和共轭的充要条件是或28函数是主曲率的充要条件是29方向是主方向的充要条件是30根据罗德里格定理，如果方向是主方向，则，其中是沿方向的法曲率31旋转极小曲面是平面或悬链面第四章32高斯方程是，魏因加尔吞方程为，33用表示为34测地曲率的几
3、何意义是曲面上的曲线在点的测地曲率的绝对值等于在点的切平面上的正投影曲线的曲率35之间的关系是36如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 37测地线的方程为38高斯-波涅公式为39如果是由测地线组成，则高斯-波涅公式为二、单选题第一章40已知，则这两个向量的内积为（ C ）（内积；易；2分钟）A 2 B C 0 D 141求过点且与向量平行的直线的方程是（ A ）（直线方程；易；2分钟）A B C D 42已知，则混合积为（ D ）（混合积；较易；2分钟）A 2 B C 1 D 43.已知，则为（ A ）（导数；易；2分钟）(，)(-，)(，)(，-)44已知，为常数，则为（ C ）（导
4、数；易；2分钟） 上述为常向量45.已知，求为（ D ）（微分；较易；2分钟）第二章46圆柱螺线的切线与轴（ C ）.(螺线、切向量、夹角；较易、2分钟)平行垂直有固定夹角有固定夹角47设有平面曲线，为自然参数，是曲线的基本向量下列叙述错误的是（C ）为单位向量48直线的曲率为（ B ）（曲率；易；2分钟） 49关于平面曲线的曲率不正确的是（ D ）（伏雷内公式；较易；2分钟） ，为的旋转角 50对于平面曲线，曲率恒等于”是曲线是直线”的（ D ）（曲率；易；2分钟)充分不必要条件必要不充分条件既不充分也不必要条件充要条件51下列论述不正确的是（ D ）（基本向量；易；2分钟）均为单位向量 5
5、2对于空间曲线，曲率为零”是曲线是直线”的（ D）（曲率；易；2分钟)A 充分不必要条件B必要不充分条件C 既不充分也不必要条件 D充要条件53对于空间曲线，挠率为零”是曲线是直线”的（ D ）（挠率；易；2分钟)A 充分不必要条件B必要不充分条件C 既不充分也不必要条件D充要条件54在点的切线与轴关系为（ D ）垂直平行成的角成的角第三章55椭球面的参数表示为（C ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 56以下为单叶双曲面的参数表示的是（D ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 57以下为双叶双曲面的参数表示的是（A ）（参数表示；易；2分钟）A B CD 58以下为椭圆抛物面的参数
6、表示的是（B ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 59以下为双曲抛物面的参数表示的是（C ）（参数表示；易；2分钟）A B C D 60曲面在点的切平面方程为（B ）（切平面方程；易；2分钟）A B C D 61球面的第一基本形式为（D ）（第一基本形式；中；2分钟）A B C D 62正圆柱面的第一基本形式为（ C）（第一基本形式；中；2分钟）A B C D 63在第一基本形式为的曲面上，方程为的曲线段的弧长为（B ）（弧长；中；2分钟）A B C D 64设为中的2维正则曲面，则的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B）A B C D 65以下正确的是（ D）（魏因加尔吞变换；较易
7、；2分钟）A B C D66以下正确的是（ C）（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A B C D 67以下正确的是（A）（魏因加尔吞变换；较易；2分钟）A B C D 68高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）（高斯曲率；易；2分钟）A 极小曲面 B 球面 C常高斯曲率曲面 D平面第四章B 69（第一基本形式；易；2分钟）A 1 B 2 C 0 D -1B 70（第一基本形式；易；2分钟）A B C D A 71（克氏符号；较易；2分钟）A B C D A 72曲面上直线（如果有的话）的测地曲率等于A B C D 3B 73当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（*维尔定理、测地曲率；中
8、；4分钟）A B C D A 74如果测地线同时为渐进线，则它必为（测地曲率、法曲率、曲率；中；2分钟）A 直线 B 平面曲线 C 抛物线 D 圆柱螺线B 75在伪球面上，任何测地三角形的内角之和（高斯-波涅定理；中；4分钟）A 等于 B 小于 C 大于 D 不能确定三、多选题第一章76.若为向量函数，则下列论述正确的是（ AD ）（导数；易；4分钟）77为常向量，为向量函数，则下述正确的是（ ABC ）（积分的性质；中；4分钟） 第二章78下列曲线中为正则曲线的有（ACDE）。（曲线的概念；易；4分钟）， ， ，79下列曲线中是正则曲线的有（ABCDE）。（曲线的概念；易；4分钟）， ， ，
9、 80下列式子正确的是（ABCE）（伏雷内公式；中；4分钟） 第三章81曲面在点的（AD ）（切平面、法线；中；4分钟）A 切平面方程为B 切平面方程为C 法线方程为D 法线方程为E 法线方程为82正螺面的（AC ）（切平面、法线；中；4分钟）A 切平面方程为B切平面方程为C 切平面方程为D法线方程为E 法线方程为83下列二次形式中，（ ABD）不能作为曲面的第一基本形式（第一基本形式；易；4分钟）A B C D E 84一般螺面的第一类基本量是（ BCD）（第一基本量；易；4分钟）A B C D E 85下列曲面中，（ BCD ）是旋转常高斯曲率曲面（常高斯曲率曲面；易；4分钟）A 正螺面
10、B 平面 C 球面 D 圆柱面 E 悬链面第四章ABC 86对于曲面上的正交坐标网，测地曲率（设曲线的切方向与的夹角为）A B C D E 87曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是ABCD（测地线的概念；中；4分钟）A 满足方程的曲线B满足的曲线C除了曲率为零的点外，曲线的主法线重合于曲面的法线 D满足的曲线E 满足的曲线四、叙述题第三章88曲面。解设是初等区域，如果存在一个连续一一映射使得，则称是一*曲面，而叫的参数表示89坐标曲线。【解】曲面，的像叫曲线，的像叫曲线，曲线和曲线都叫坐标曲线90第一基本形式。【解】称二次型（其中，）为曲面的第一基本形式而、叫曲面的第一类基本量91内蕴量。【解
11、】由曲面的第一类基本量所决定的量叫曲面的内蕴量92第二基本形式。【解】称二次型（其中，）为曲面的第二基本形式而，为曲面的第二类基本量93【解】若在点有，则称点为曲面的椭圆点94法曲率。【解】给定曲面上一点处的一个切向量，则点沿方向的法曲率定义为95主曲率。【解】使法曲率达到极值的方向叫曲面在该点的主方向，而主方向的法曲率叫该点的主曲率96高斯曲率。【解】曲面的两个主曲率之积叫曲面的高斯曲率97极小曲面。【解】平均曲率的曲面叫极小曲面五、计算题第二章98求旋轮线的一段的弧长（弧长；中；5分钟）【解】旋轮线的切向量为，则它的一段的弧长为：99求曲线在原点的切向量、主法向量、副法向量（基本向量；中；10分钟【解】由题意知，在原点时有。又，所以有。100圆柱
