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1、谈谈高中数学的解题与教学广东广雅中学 徐广华一、关于数学解题无论哪个学科，教学都离不开解题。大家都是未来的人民教师，也许你们在做家教或到中学实习时都有这样的经历，当学生拿着问题来问你，但你却支支吾吾答不出来，那一刻你心里也一定尴尬极了，害怕自己在学生心目中的形象会一落千丈。诚然，要做到对学生或同事提出的疑难问题，即时给出圆满的解答，这确实不是一件容易的事，需要老师过人的智慧和艰苦的修为，冰冻三尺，非一日之寒啊！解题能力是衡量一个数学教师教学基本功的重要指标。请大家设想一下，如果某道题作为老师的你都不会解的话，你有胆量站上讲台面对学生夸夸其谈吗？学生会信服你吗？现在不少学校招聘教师，都要求应聘者
2、在规定时间内做一份与高考难度相当的试题，通过笔试成绩决定你能否进入下一轮，例如试教、说课等。就我个人而言，数学解题能力的积淀是“十年磨一剑”，扎实的解题基本功，来源于过往的艰苦训练，是量变引起质变的过程。从93年至04年这11年比较“寂寞”的岁月里，我把陕西师大出版的中学数学教学参考这份杂志每年1、2期合订本中收集的全国各省市精选的模拟试题，还有十年高考里每年的高考试题都几乎做遍了，真的是阅题无数！时至今天，我还把这些书珍藏着。我很感谢那段周末都蜗居在阴暗、潮湿的单身宿舍的难忘岁月，它让我体会到“孤独”是一种境界。我建议同学们：有机会的话，要积极参加各种解题比赛，多辅导学科竞赛，在这些“逼”出
3、来的环境下你的解题能力一定会得到大幅度的提升，这对你增强数学底蕴，促进专业发展，很有帮助。要想提高数学的解题技能，需要我们从数学思想与方法的高度来掌握它。高中数学要重点掌握的数学思想有：函数与方程思想、分类讨论思想，数形结合思想，运动变化思想，化归与转化思想等等。要掌握的数学方法有：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、分析法、综合法、反证法等等。在平时的解题中，我们要善于开动脑筋，积极去发现问题、提出问题，因为在数学的领域中，提出问题比解答问题也许更重要。此外，要注重新旧知识间的内在联系，不满足于现成的思路和结论，经常进行一题多解，一型多变，从多侧面、多角度思考问题，挖掘问题的实质内涵。学
4、习数学一定要讲究“灵”和“活”，只听懂老师讲的自己不动手做题不行；只看题看懂答案不动笔不思考不行；只埋头做题做完就罢不总结方法也不行！ 我认为学习数学有四种境界：一是听懂，二是会做，三是做对，四是巧做。熟记、积累一些基本的数学规律和重要结论，例如：正四面体的棱长与外接球、内切球半径和体积的关系，常用的组合数等，使自己平时的运算技能达到自动化或半自动化的熟练程度。经常对知识结构进行梳理，形成板块结构；经常对习题进行类比、类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；“百川归海”，使几类问题归于同一类知识方法。美籍匈牙利数学家乔治波利亚说：“掌握数学，就是要善于解题。善于解题，不完全在于解题的多
5、少，还在于解题前的分析、探索和解题后的反思。” 著名数学家苏步青也认为：学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。我觉得经常在解题后进行一定的反思非常重要，养成“解题反思感悟解题”的习惯。例如：思考一下本题所用的基础知识、数学思想方法是什么，为什么要这样想？是否还有别的想法和解法？本题的分析思路与解法，在解其它问题时，是否也曾用到过？同时将你在解题过程中的一些感悟、体会和收获，三言两语地用红笔简略记下来，这对提高你的数学解题能力很有帮助。二、关于数学教学数学教学有四个层次：一是数学知识与技能的教学，重在解决“是什么、怎样做”的问题；二是数学思想与方法的教学，重在解决“运用什么样
6、的思想与方法去做”的问题；三是数学思维过程的教学，重在解决“怎么想到这样做，为什么要这样做”的问题；四是数学精神与文化的教学，重在促进学生心智、个性、观念、精神等和谐发展. 要提高数学课堂教学效益，仅仅停留在层次一、二的教学层面上是远远不够的，还必须在层次三、四上给力. 这是对新课标数学理念的追求，也是对教师数学素养的要求。三、数学解题案例分析案例一、解三角形与三角变换：例1、在中，已知，求.思路1：利用正弦定理求解思路2：利用余弦定理求解变式1：在中，已知，求这个三角形的最大内角与最小内角之和.变式2：在中，已知，判断这个三角形的形状.变式3：在中，已知，求角.反思：解三角形的问题，利用正弦
7、定理来求解的几乎也可以利用余弦定理来求解，反过来也如此，只不过是用正弦定理还是余弦定理比较简便而已。这是偶然呢？还是必然呢？恩格斯曾经说过：“偶然是没有发现的必然。”事实上，正弦定理和余弦定理是等价的，它们可以互相推证，这才是问题的真正本源和实质所在！ 探究：如何由正弦定理推导出余弦定理？因为，所以，由正弦定理，得，即 .由正弦定理，有 .，得，探究2：如何由余弦定理推导出正弦定理？由余弦定理，得 ， .，右边用平方差公式分解因式，得，移项，得，即，所以，即，同理可证：，故.再反思：既然正弦定理和余弦定理是等价的，那么能否将正弦定理和余弦定理进行“联姻”，将两者结合统一起来呢？我们可以发现：如
8、果把余弦定理再施加正弦定理，就可得到中一个重要的恒等式：，我将其命名为“混弦定理”.连同中的另外两个恒等式：（是非直角三角形的条件下）和一样，它们都揭示了三角形三个内角的三角函数值之间的隐性关系。其实，透过现象看本质，三角函数中的不少求值问题，例如：求的值；求的值；求的值；等等，都与这三个三角形恒等式有着千丝万缕的关系，只是我们没有去仔细探究而已。据此，我们还可以编出一些证明三角不等式的题目：（1）锐角中，求证：.（2）中，求证：.在平时的解题中，多一点反思，多一点钻研，就会有你意想不到的收获！案例二、数列与不等式的综合问题例1、（2007广东理）已知函数，是方程的两个根，是的导数. 设，.(
9、1) 求的值；(2) 证明：对任意的正整数，都有；(3) 记，求数列的前项和.解析：(1) 易得.(2) 易得，则，用数学归纳法易证得.(3) 数列的特征方程为，其两根恰好为，由定理知，有，从而，即.所以，数列是公比为2的等比数列， 故.类似1：（2007四川理）已知函数，设曲线在点 处的切线与轴的交点为，其中为正实数.(1) 用表示；(2) 求证：对一切正整数，的充要条件是；(3) 若，记，证明数列成等比数列，并求数列的通项公式.解析：(1) 切线方程为，即，令，得，即.显然，.(2) （必要性）若对一切正整数，则，即，而，即有.（充分性）若，由，用数学归纳法易证得，于是，即对一切正整数成立
10、.(3) 数列的特征方程为，其两根为，由定理知，有，从而，即.所以，数列是公比为2的等比数列，故，即，从而，所以.类似2：（2008广州二模）已知数列满足，. （1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：.解析：（1） 易得.（2）数列的特征方程为，其两根为，由定理知，有，从而，所以，数列是公比为2的等比数列，首项为，故，由此得.（3） 由（2）得，当时，则当时，故.变式：已知，求.总结： 对于数列，如果给出的值和递推式（*），设为函数的两个不动点（即是对应递推式（*）的数列的特征方程的两根），且，有，即数列是公比为2的等比数列. 证明：，又，两式比较系数，得. 显然，是方程也就是特征方
11、程的两根，即为函数的两个不动点.例2、（2011安徽理）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这 个数的乘积记作，再令，. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.解：（1）设构成等比数列，其中，公比，则 ， ，得 ， 故，从而.（2）注意到：，由两角差的正切公式得：，变形得：，.【点评】本题第（2）问，表面上看属于数列求和问题，但考查的不是常见的数列求和，而是数列与三角交汇的“非常规”的裂项相消法求和.变式1：，求数列的前项和.变式2：，求数列的前项和.例3、（2012广州一模理19）等比数列的各项均为正数，成等差数列，且（1）求数列的通项公式；（2）设，求
12、数列的前项和点评：本题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识（“非常规的裂项”）.变式1：设，求数列的前项和 （答案：）总结：一般地，设是等比数列，如何求数列的前项和？方法一：错位，再错位；方法二：用待定系数裂项相消法.变式2：求证：.答案：法一：法二：总结：常用的裂项方法有：一次型：；.二次型：；.分母三项连乘型：.根式型：. 错位型：.指数型：；.三角型：； .例4、（2009广东理）已知曲线从点向曲线引斜率为的切线，切点为（1）求数列的通项公式；（2）证明：.（1）解：曲线可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，切线的
13、方程为，与联立， 消去整理，得，令，解得，又， ， 此时，方程化为：，整理，得，解得，所以.数列的通项公式为，数列的通项公式为.（2）证明：，则 =.=，又，令，则，要证明，只需证明当时，恒成立即可.设函数，则，在区间上为单调递减函数，对于一切成立， ，即=. 综上，得.类似：(2009山东理)等比数列的项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求的值；（2）当时，记，,证明：对任意的，不等式成立.（1）解：，当时,，当时，又因为为等比数列，所以，公比为， .（2）证：当时，则，所以 . ，下面用数学归纳法证明：不等式成立. 当时,左边=，右边=，因为，所以不等式成立.
14、假设当时不等式成立，即成立.则当时，左边=所以当时,不等式也成立. . 评注：本题除利用分数性质放缩外，也可以利用“平方法”放缩：（从不等式右边开平方得到启示） .迁移：（1998全国卷，理25题第（2）问）证明：.证明：，即. .评注：本题一样也可以利用“立方法”放缩：（从不等式右边开立方得到启示） .总结：常用的放缩方法有：奇偶数型：；指数型：；.例、求证：.另法：当时， ，立方型：.例、（1）求证：.（2）求证：.平方型：；.根式型：；例、求的整数部分分析：，的整数部分为18. ；.例5、在数列中，已知，.（1）求数列的通项公式； （2）求证：；（3）求证：.分析：（1）法一：易得，猜想，再用数学归纳法证明即可（略）.法二：由已知，得，用待定系数法，得，故是首项为，公比为的等比数列，得，即. （2）注意到不等式的右边是数列的前项和，故
