新编人教版精品教学资料第一章 集合与函数概念§1.1 集 合【入门向导】 渔民与数学家的故事一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义，于是，他请教数学家：“尊敬的先生，请您告诉我，集合是什么？”集合是不定义的概念，数学家很难回答那位渔民，有一天，他来到渔民的船上，看到渔民撒下鱼网，轻轻一拉，许多鱼虾在网中跳动．数学家非常激动，高兴地告诉渔民：“这就是集合！”这一网鱼虾可以构成一个集合，网中的这些鱼也可以构成一个集合，这些虾也可以构成一个集合，那将形成鱼虾集合、鱼集合与虾集合，这三个集合之间又有怎样的关系呢？同学们，你能告诉渔民吗？解读集合的有关概念一、注意集合的概念与“全体”的区别集合的概念是现代数学中不定义的原始概念．集合的概念虽然也含有“全体”的意思，但是与通常所理解的全体是有区别的，集合中的元素必须是确定的，必须能判断任何一个对象是不是它的元素，而全体则不一定能成为一个集合．例如，“我校高一学生中高个子同学的全体”就不能构成集合，而“我校高一学生中所有身高高于170厘米的同学的全体”则能构成集合．二、加强对集合元素的三大特性的理解1．确定性：对于一个集合中每一个元素都是可以客观的用一个标准明确地来判断该元素是或不是集合中的元素．如上述“高个子同学”并没有明确的标准来判断身高为多高是“高个子”，即集合中的元素是不确定的．2．互异性：所谓互异是指集合中的元素必须是互不相同的，不会有完全相同的元素．在解题中尤其要注意对结果进行检验，不能忽视．例1 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．解 若x2＝0，则x＝0，此时集合为{1,0,0}，不符合集合中元素的互异性，舍去．若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，集合为{1,0,1}，舍去；当x＝－1时，集合为{1,0，－1}，符合．若x2＝x，则x＝0或x＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知：x＝－1.3．无序性：集合是一个整体，集合中的元素排列是没有顺序限制的，所以同学们应知道集合{a，b，c}，{b，a，c}，{c，b，a}都是同一集合．为帮助同学们记忆，特总结口诀如下：集合平常很常用，数学概念各不同；理解集合并不难，三个要素是关键；元素确定与互异，还有无序要牢记．三、注重对空集概念的理解一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.空集是特殊的集合，不含有任何元素，规定它是有限集．注意 ①空集和集合{0}是不同的，∅是不含任何元素的集合，而{0}表示只含有一个元素“0”的集合．②∅和{∅}也是不一样的，∅是不含任何元素的集合，{∅}表示只含有一个字母“∅”的集合，也可以看作由∅作为元素构成的集合．四、正确理解集合与集合的关系集合与集合之间是包含关系，它反映出了“一个整体”相对于另“一个整体”之间的关系．包含关系有三种：子集、真子集和相等．1．“集合A是集合B的子集”，意思是集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，但不能把“集合A是集合B的子集”理解为集合A是由集合B中部分元素组成的集合，因为空集和集合B都是集合B的子集．2．“集合A是集合B的真子集”有两层含义，一是集合A是集合B的子集，二是集合A与集合B不相等，即集合B中至少有一个元素不属于集合A.3．要证明A＝B，只需要证明A⊆B且B⊆A成立即可．即可设任意x0∈A，证明x0∈B从而得出A⊆B.又设任意y0∈B，证明y0∈A从而得到B⊆A，进而得到A＝B.例2 已知集合A＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}，B＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}，判断集合A与集合B是否相等．可用列举法解之．解 即A＝{…，，，，，…}，B＝{…，，，，π，，…}．观察可知，A≠B.4．若集合A中含有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．集合易错点剖析一、符号意义不清致错例3 已知集合X＝{0,1}，Y＝{x|x⊆X}，那么下列说法正确的是( )A．X是Y的子集 B．X是Y的真子集C．Y是X的真子集 D．X是Y的元素错解 B剖析 集合中符号意义必须清楚．正解 因为Y＝{x|x⊆X}＝{{∅}，{0}，{1}，{0,1}}，所以X∈Y.故选D.二、代表元素意义不清致错例4 集合A＝{y|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x＋2，x∈R}，则A∩B＝( )A．{(－1,1)，(2,4)} B．{(－1,1)}C．{(2,4)} D．∅错解 由得或故选A.剖析 导致错误的原因是没有弄清集合中元素的意义，A中的元素是实数y，而B中的元素是实数对(x，y)，也就是说，集合A为数集，集合B为点集，因此A、B两个集合中没有公共元素，从而这两个集合的交集为空集．正解 D三、忽视集合元素的互异性致错例5 已知集合A＝{2,3，a2＋4a＋2}，B＝{0,7，a2＋4a－2,2－a}，且A∩B＝{3,7}，求集合B.错解 由A∩B＝{3,7}得a2＋4a＋2＝7，解得a＝1或a＝－5.当a＝1时，集合B＝{0,7,3,1}；当a＝－5时，集合B＝{0,7,3}．综上知集合B＝{0,7,3,1}或B＝{0,7,3}．剖析 由题设条件知集合B中有四个元素，当集合中出现了相同的元素，与集合中元素的互异性矛盾，导致错解．正解 应将当a＝－5时的集合B＝{0,7,3}舍去，故集合B＝{0,7,3,1}．四、忽视空集致错例6 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．错解 由B⊆A，得，解得2≤m≤3.剖析 上述解法是初学者解此类问题的典型错误解法．原因是考虑不全面，由集合B的含义及B⊆A，忽略了集合为∅的可能而漏掉解．因此题目若出现包含关系时，应首先想到有没有出现∅的可能．正解 A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得，解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}.集合中的数学思想一、分类讨论思想分类讨论是高中学习中一种重要的数学思想方法，也是一种基本的解题策略，是高考的重点与热点，也是高考的难点．“分类讨论”的数学思想的实质是把整体问题转化为局部问题进行解决，通俗地讲就是“化整为零，各个击破”的解题手段，或者说不同情况要采取不同的方法去对待，使问题变得条理清晰、层次分明、易于解决．在集合这一部分中，常见的分类讨论题型有以下几种：1．根据集合元素特性分类讨论在分析集合所含元素的情况时，常常会根据集合中的元素特性分类讨论，在解题中尤其要注意对结果进行检验．例1 设集合A＝{2，a2－a＋2,1－a}，若4∈A，求a的值．解 由集合元素的确定性知a2－a＋2＝4或1－a＝4.(1)解a2－a＋2＝4得a＝－1或a＝2.a＝－1时，A＝{2,4,2}不满足集合中元素的互异性，故a＝－1舍去；a＝2时，A＝{2,4，－1}满足集合中元素的互异性，故a＝2满足要求．(2)解1－a＝4得a＝－3，此时A＝{2,4,14}满足集合中元素的互异性，故a＝2或a＝－3即为所求．2．根据空集的特性分类讨论空集是集合中一类特殊的集合，应特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况．因此在处理集合问题时，对未知集合进行空集与非空集合的讨论是十分重要的．例2 已知A＝{x|－3≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，问m为何实数时，A∩B＝∅成立．分析 此题已知A∩B＝∅，需按B＝∅和B≠∅进行分类讨论，同时还要注意m＋1和2m－1的大小关系．解 (1)当B＝∅时，A∩B＝∅成立，此时m＋1>2m－1，即m<2.(2)当B≠∅时，欲使A∩B＝∅成立，实数m应满足或解得m>4.故满足条件的m的取值范围是m<2或m>4.3．根据子集的性质分类讨论含参数的集合问题，这类问题是集合部分中最常见的分类讨论题．解题时注意把集合的运算关系转译为包含关系，常需对已知集合的子集元素的个数进行分类讨论．例3 已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}且A∪B＝A，求实数a的值．分析 解此题可先由A∪B＝A，得出B⊆A，然后对集合B中的元素个数进行分类讨论．解 ∵A＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}由A∪B＝A，得B⊆A(1)B＝∅时，Δ＝a2－4a＋4<0∴这样的a不存在；(2)B＝{1}时，∴a＝2；(3)当B＝{2}时，∴这样的a不存在；(4)当B＝{1,2}时，∴a＝3.∴由(1)(2)(3)(4)得：a＝2或a＝3.分类讨论的数学思想是解集合题经常会遇到的一种思想方法，分类要恰当、合理，做到“不重不漏”．解题时应特别注意对集合元素的特性的检验，特别注意空集是任何集合的子集，不可忽视空集的特殊情况．含参数的集合问题，注意把集合的运算关系转化为包含关系，克服分类讨论中的主观性和盲目性．二、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过对图形的认识、数形结合的转化，可以培养思维的灵活性、形象性，使问题化难为易、化抽象为具体．通过“形”往往可以解决用“数”很难解决的问题．集合中常用的方法是数轴法和Venn图法．1．运用数轴例4 已知集合A＝{x|x<－1，或x≥1}，B＝{x|2a