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1、试卷类型：A广东省2018届高三年级四校联考理科数学第卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求 1. 集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】故选.2.是虚数单位，则复数在复平面上对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】，在复平面上对应的点位于第三象限故选.3. 若实数满足条件，则的最大值为（ ）A. 21 B. 17 C. 14 D. 5【答案】B【解析】作可行域为如图所示的，其中，设，则，表示斜率为，纵截距为的直线，作直线并平移，使其经过可行域
2、内的点，当直线过点时，取得最大值，故选.4. 已知两个单位向量的夹角为，则的最小值为（ ）A. B. C. 1 D. 【答案】B，所以当时，取得最小值故选.解法2：如图，因为，所以点在直线上运动，则，显然，当时，取得最小值，此时故选.5. 秦九韶是我国南宋时期的数学家，在他所著的数书九章中提出的多项式求值的“秦九韶算法”，至今仍是比较先进的算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法，求某多项式值的一个实例，若输入的值分别为4和2，则输出的值为（ ）A. 32 B. 64 C. 65 D. 130【答案】C【解析】程序运行循环时变量值为：；，退出循环，输出，故选C6. 某几何体的三视图如图所示，
3、则此几何体的体积为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】C【解析】该几何体为三棱锥，其直观图如图所示，体积故选.7. 已知函数，若函数为奇函数，则的值为（ ）A. B. C. 0 D. 2【答案】B【解析】，令，得，又，所以函数的对称中心为，所以函数的对称中心为，根据题意可得，解得，所以故选.8. 已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】A【解析】当时，当时，或，两式相减，得或，即或，又因为，所以的最小值为故选.解法2：直接令，得，解得故选.9. 已知关于的方程在区间上有两个根，且，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】
4、D【解析】，即，所以，作出函数的图像，由图可知，要使得方程在区间上有两个根，且，则，即故选.10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点，连结，分别交抛物线于点，且三点共线，则的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】直线的方程为，将其代入，解得，故；直线的方程为，将其代入，解得，故，又，所以，因为三点共线，所以，即，解得故选.11.为自然对数的底数，已知函数，则函数有唯一零点的充要条件是（ ）A. 或或 B. 或 C. 或 D. 或【答案】A【解析】作出函数的图像如图所示，其中，则，设直线与曲线相切，则，即，设，则，当时，分析可知，当时，函数有极大值也是最大值，所以当
5、时，有唯一解，此时直线与曲线相切分析图形可知，当或或时，函数的图像与函数的图像只有一个交点，即函数有唯一零点故选.【点睛】本小题主要考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的处理方法，考查利用导数求相切时斜率的方法，考查数形结合的数学思想方法.首先画出函数的图象，分段函数的图象注意分界点的位置是实心的函数空心的.然后将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点来解决.12. 在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】取中点，连接，则，所以，设外接圆圆心为，半径为，则所以同理可得：的外接圆半径也为2，因为，所以是等边三角形，即二面角为，球心在平面上，过平
6、面的截面如图所示，则，所以，所以，即，所以外接球的表面积故选.【点睛】本小题主要考查几何体外接球的表面积的求法，考查三角形外心的求解方法.在解决有关几何体外接球有关的问题时，主要的解题策略是找到球心，然后通过解三角形求得半径.找球心的方法是先找到一个面的外心，再找另一个面的外心，球心就在两个外心垂线的交点位置.第卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的线性回归方程为，则_【答案】【解析】，将代入，解得：14. 的展开式中的系数为_【答案】1【解析】，所以展开式中的系数为15. 过双曲线右顶点且斜率为2的直
7、线，与该双曲线的右支交于两点，则此双曲线离心率的取值范围为_【答案】【解析】双曲线的渐近线方程为，根据题意可得，所以离心率，所以离心率的取值范围是【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线，考查离心率和的关系，考查数形结合的数学思想方法.由于题目所给过右顶点的直线和双曲线右支交于两点，转化为渐近线的斜率小于该直线的斜率.双曲线的渐近线，在图像上显示的即是函数的图象无限的接近渐近线.在双曲线中，在椭圆中.16. 如图在平面四边形中，则四边形的面积为_【答案】【解析】连接，则，此时，所以，取中点，连接，则，所以【点睛】本题考查不规则四边形面积的求法，考查余弦定理解三角形.由于四边形是不规则的，所以要将求四
8、边形面积的问题转化为求三角形面积的问题来求解.在连接将四边形分成两个三角形后，利用余弦定理和三角形内角和定理，结合解三角形与三角形面积公式，可求得面积.三、解答题： 17. 已知等差数列的前项和为，（1）求的值；（2）求数列的前项和【答案】（1）1（2）【试题解析】（1）因为，代入，可得：，整理可得，因为，所以， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 所以， 当时，当时， 因为，所以，若数列为等差数列，则有，解得 （2） 由（1）可得，所以所以，即18. 依据某地某条河流8月份的水文观测点的历史统计数据所绘制的频率分布直方图如图（甲）所示；依据当地的地质构造，得到水位与灾害等级的频率分布条形
9、图如图（乙）所示试估计该河流在8月份水位的中位数；（1）以此频率作为概率，试估计该河流在8月份发生1级灾害的概率；（2）该河流域某企业，在8月份，若没受1、2级灾害影响，利润为500万元；若受1级灾害影响，则亏损100万元；若受2级灾害影响则亏损1000万元现此企业有如下三种应对方案：方案防控等级费用（单位：万元）方案一无措施0方案二防控1级灾害40方案三防控2级灾害100试问，如仅从利润考虑，该企业应选择这三种方案中的哪种方案？说明理由【答案】（1）（2）应选方案二【解析】【试题分析】中位数是左右两边小长方形面积为的地方.（1）由于乙图中频率分成个部分，故将水位频率和对应级灾害的频率对应起来
10、，利用相互独立事件概率计算公式，将发生级灾害的概率计算出来.（2）分别计算方案、方案和方案对应的利润分布列及数学期望，由此判断出方案较合理.【试题解析】（1）依据甲图，记该河流8月份“水位小于40米”为事件，“水位在40米至50米之间”为事件，“水位大于50米”为事件，它们发生的概率分别为：， 记该地8月份“水位小于40米且发生1级灾害”为事件，“水位在40米至50米之间且发生1级灾害”为事件，“水位大于50米且发生1级灾害”为事件，所以 记“该河流在8月份发生1级灾害”为事件则估计该河流在8月份发生1级灾害的概率为 （2）以企业利润为随机变量，选择方案一，则利润（万元）的取值为：，由（1）知
11、的分布列为X15001001000P0.810.1550.035则该企业在8月份的利润期望（万元）选择方案二，则（万元）的取值为：，由（1）知，的分布列为：X24601040P0.9650.035则该企业在8月份的平均利润期望（万元）选择方案三，则该企业在8月份的利润为：（万元）由于，因此企业应选方案二19. 已知四棱锥，底面为菱形，为上的点，过的平面分别交于点，且平面（1）证明：；（2）当为的中点，与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析（2）【解析】【试题分析】（1）连结交于点，连结根据菱形有，根据等腰三角形有，所以以平面，.利用线面平行的性质定理有，故，所以.（2）以为坐标
12、原点建立空间直角坐标系，通过计算平面和平面的法向量来计算二面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：连结交于点，连结因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以因为平面，平面，且平面平面，所以，所以 （2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以 分别以，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以， 记二面角的大小为，则所以二面角的余弦值为20. 已知椭圆的离心率为，圆与轴交于点，为椭圆上的动点，面积最大值为（1）求圆与椭圆的方程；（2）
13、圆的切线交椭圆于点，求的取值范围【答案】（1）圆的方程为，椭圆的方程为（2）【解析】【试题分析】（1）根据离心率可有，依题意可知为椭圆的焦点，故.当位于椭圆上顶点时，面积取得最大值，由此列方程可解得的值，并求得圆和椭圆的方程.（2）当直线斜率存在时，设出直线方程为，利用圆和直线相切求得的等量关系式，利用韦达定理和弦长公式计算出弦长并利用配方法求得弦长的取值范围.当直线斜率不存在时，直线的方程为，可直接得到的坐标求出弦长.【试题解析】（1）由题意得，解得： 因为，所以，点为椭圆的焦点，所以，设，则，所以，当时，代入解得，所以， 所以，圆的方程为，椭圆的方程为 （2）当直线的斜率存在时，设直线的方
14、程为，因为直线与圆相切，所以，即， 联立，消去可得，令，则，所以，所以，所以 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得，综上，的取值范围是【点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.21. 已知函数，其中为自然对数的底数，常数（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由【答案】（1）1（2）存在【解析】【试
