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1、第四章 连续时间系统的频域分析 第三章中借助于傅里叶级数、傅里叶积分变换对周期及非周期信号的频谱 进行了讨论。利用上面讨论所得结论，本章将对 LTI 系统进行频域分析。LTI 系统的频域分析法是一种变换域分析法，即把时域中求解响应问题通 过傅里叶级数或傅里叶变换转换到频域之中，求解后再回到时域，从而得到最 终结果。采用傅里叶变换的方法对系统进行分析的目的，一方面是使一些系统分析 问题得以简化，而更重要的是接受一种变换的方法，真正体会时频变换在分析 LTI 系统中是一种不可替代的有效方法，有了这种方法使得许多有实际意义的 物理过程变得可能。4.1 系统函数由 LTI 系统的时域分析可知，当输入信
2、号为 x(t) ，系统单位冲激响应为 h(t) 时，其系统零状态响应 yzs t x(t) h(t) 。由傅里叶变换的时域卷积定理，对上式 两端同时取傅里叶变换可有F yzs(t) F x(t) F h(t)Yzs( j ) X(j ) H(j ) (4.1)其中 x(t) X(j )， yzs(t)Yzs j ，h(t) H j 。由 (4.1) 式可定义系统函数为2)(4.2)式说明H(j)是频率 的函数，故又称之为系统的频率响应函数。情况下，H j是一个复函数，因此可有H j H j ej(4.3)其中，H j为系统的响应幅度及激励幅度之比，称之为幅频特性函数，而则描述了系统响应及激励的
3、相位关系，称之为相频特性函数。由(4.2)系统函数的定义式可知，系统函数h j反映系统自身的特性。它由 系统结构及参数来决定，而及系统的外加激励及系统的初始状态无关。随着激励信号及待求响应的关系不同，在电路分析中Hj将有不同的涵义。它可以是阻抗函数、导纳函数、电压比或电流比。频域系统函数H j的求解方法主要有(1) 当给定激励及零状态响应时，根据定义求，即(2) 当已知系统单位冲激响应 h(t)时，H jh(t)e j tdt(3) 当给定系统的电路模型时，用相量法求。(4) 当给定系统的数学模型(微分方程)时，用傅里叶变换法求。例 4.1试求图4.1(a)中以 i2(t)为响应时的系图4.1
4、# / 36统函数H j解 图4.1 ( a)所示电路对应的频域电路模型如图4.1 (b)所示。根据相量分析法例4.2 已知描述系统的微分方程为 y (t) 3y (t) 2y t x(t)，求系统函数H(j )。解对原微分方程两边取傅里叶变换，并根据时域微分性质，可得2(j )3(j )2Y j X j所以j312 (2) j3例4.3已知系统单位冲激响应h(t) 2e 3t (t)，求系统函数h j解 因为F h(t) H(j )，所以可有H(j )Fh(t) F2e3t (t)由单边指数信号的傅里叶变换对，可得系统函数为例 4.4 LTIRC相示，求该电路的系统特性及相频特性曲H j23
5、jA .+ U1V +1U1- j CU200 -量电路如图4.2所函数，并绘出幅频 线。# / 36图4.2 LTI RC 相量电路解 这是典型的RC低通滤波电路。可以通过求解系统函数h j ,分析其幅度、相位随频率的变化规律，从而得到通低频、阻高频信号的结论。设电路图中的Ui为激励相量，U2为响应相量。按(4.2)式该电路的系统函数为1U2j C1U? R 11 j RC()arctan RCj C其幅度特性函数为相频特性函数为，()图4.3幅频特性及相频特性曲线相应的幅频特性曲线如图4.3(a)所示，相频特性曲线如图 4.3 (b)。由此结果可以看出越大，h j越小。这说明信号通过此电路
6、时，高频信号被截止，而低频信号通过，故称此为低通滤波电路。4.2 系统对非正弦周期信号的响应在电路分析中，已详尽讨论了正弦周期信号作用电路的稳态响应。现在的 问题是，若一个非正弦周期信号激励于系统，其响应如何？根据第三章讨论可 知，周期信号可以分解为一系列谐波分量之和。线性电路在周期信号激励下产 生的响应，按线性性质是激励信号中每个谐波分量分别单独作用时产生响应分 量的叠加。而每个谐波分量都是单一频率的正弦波，且存在于 t 至 t 之间， 同时由于时间的增长而引起的系统的暂态已过去，系统处于稳定状态。此外， 考虑信号从 t 进入系统之前系统处于零状态。由此分析可以确定，当非正弦 周期信号作用于
7、线性电路时，其响应可通过相量法和叠加定理综合求得。例4.5 LTI RL电路如图4.4 (a)所示，已知R 10 , l ioh ,激励信号ust的波形如图4.4 (b)所示，求稳态响应u(t)(求到三次谐波为止)。由4.4 (b)图可知激励信号Us t的周期为t 2 s基波角频率。将激励信号Us t进行傅里叶级数展幵可有4444us t 1 cos 0tcos3 0t cos5 0tcos7 0t357此式说明，可以将Us t看成是一个直流分量和奇次谐波分量所组成激励源，这相当于把无穷多个电压源串联作用于电路上，如图4.4(c)所示。因为周期信号的频谱具有收敛性，其能量主要集中在低频分量上，
8、所以计算傅氏级数时只需计 算前几项即可。进一步确定系统函数，Us j R j LH(j0)0利用叠加定理，让各次谐波分量单独作用并求其响应相量当0时,则响应(直流分量)为Um Usm(jO) H(jO) 0V当 0 时，H(j o) j 比 2 45R J oL 2则一次谐波分量所对应的稳态响应相量为4 42.Uim Usm(j o)H(j o)450.90 45 (V)2当 3 0时H(j3 0)j3 0LR j3 0L0.95 18.4则三次谐波分量所对应的稳态响应相量为4U3m Usm(j3 0)H(j3 0)1800.95 18.40.64161.6 (V)以此类推可求出各次谐波分量所
9、对应的稳态响应相量。而作为各次谐波分 量的稳态响应相量的时域表达式分别为U0 t 0u1 t 0.9cos t 45 VU3 t 0.64cos 3t 161.6 V将各次谐波分量的时域响应相加得该电路的稳态响应为u(t) U0(t) U1(t) U3(t)0.9cos(t 45 )0.64 cos(3t 161.6 )(V)4.3系统对非周期信号的响应非周期信号通过线性系统的响应及周期信号有所不同。由于非周期信号对系统的激励是有确定时间的，所以对于零状态系统，其响应只含零状态响应，其中既有稳态分量，也有随时间衰减的暂态分量。若系统初状态不为零，则其响应还应包含零输入响应分量。本节重点讨论零状
10、态系统对非周期信号的响应。由时域分析可知，当线性时不变系统的单位冲激响应为h(t)，激励为x(t)时,系统的零状态响应yzs t x(t) h(t)(4.4)将上式两端取傅里叶变换，并利用其时域卷积定理可得Yzs(j ) X(j ) H(j )(4.5) 即系统零状态响应的频谱函数等于系统函数及激励的频谱函数之乘积。在求得Yzs(j )后，则可利用yzs(t)f11Yzs(j)(4.6)求得系统时域响应。例4.6某线性时不变系统的冲激响应h(t)2t ee3t t ,求激励信号x(t) e(t)时系统的零状态响应。X(j)Fx(t)H(j )Fh(t)1(j 2)( j 3)由(4.5)式可知
11、系统零状态响应yzs(t)的频谱函数为Yzs(j ) X(j ) H(j )(j 1)( j 2)( j 3)将Yzs(j )用部分分式展幵得Yzs(j )121 j123进行反变换，可得yzs(t)J t(2ee 2t从上例可知，利用傅里叶变换求系统的零状态响应时，必须首先求得激励 的频谱函数和频域系统函数，然后可求出零状态响应的频谱函数。这样从频谱改变的观点来解释激励及响应波形的差异，物理概念比较清楚，反映了系统本身是一个信号处理器。它依照自身的系统函数H j的特性对输入信号的频谱X(j )进行处理，使得输出响应的频谱Yzs(j )为X(j ) H(j )。但是傅里叶变换分析法求反变换一般
12、比较困难，因此频域分析的目的通常不是由此求系统时域例4.6响应，而重点是在频域分析信号的频谱和系统的带宽，以及研究信号通过系统 传输时对信号频谱的影响等。图4.5所示电路。若激励电压x(t) (t)，试求两种电路的零状态响应，并从频谱的观点对其结果进行解释。x(j ) Fx(t)对图4.5 (a)所示电路，由电路分析理论可得式中RC为电路时间常数。响应频谱为Ya(j ) Ha(j )X(j )-所以ya(t)e(t)(t)对于图4.5(b)所示电路，可得Yb(j ) Hb(j )X(j所以yb(t)(1/ )(t)1te 代(t)以及传输函数H j的幅频特性。图4.6示出了 x(t)和y(t)
13、的波形及其频谱,由图4.6可知，在x(t) (t)通过系统Ha j后，低频分量受到削弱，并失去了冲激线谱，而高频分量几乎不变。高频分量的存在意味着输出波形会和输入波 形一样地产生突变；冲激线谱的失去使Ya(j )变为连续谱，这意味着输出波形是一个脉冲，因而ya (t)最终必衰减到零。变，并含有冲激。在频域中,在x(t)(t)通过系统Hb j后，其高频分量受到抑制，但低频分量几乎不0处的冲激表明在时域中含有平均值，因而当时，yb(t)仍有一定数值。而高频分量失去较多，表明时域中波形不能急剧变化。4.4信号无失真传输条件通信中的传输应有两个任务：其一是将信号原样从甲方传到乙方 (不失真)； 其二是
14、将信号改变后进行传送。采用哪种传输，要取决于通信自身的要求及其 制取不同的通信系统。一般来说，输入信号通过通信系统后，其输出信号都会发生变化。在通信 系统中出现信号失真主要体现在两个方面，即幅度失真和相位失真。在通信系统中，传送语言及音乐信号时，为了保证声音不失真，重要的是 使信号中各频率分量的幅度保持相对不变，因为人耳对各频率分量间的相位变 化不很敏感。当传送图像信号时，保持各频率分量间的相位关系，则是保证图 像不失真的决定性条件。需要提醒注意的是，这是所说的信号失真是一种线性失真，不会在传输过程中产生新的频率分量。441无失真概念对于一个线性系统，一般要求能够无失真地传输信号。信号的无失真传输,从时域来说，就是要求系统输出响应的波形应当及系统输入激励信号的波形完 全相同，而幅度大小可以不同，时间前后可有所差异，即y(t) kx(t to)(4.7)式中k为及t无关的实常数，称为波形幅度衰减的比例系数；t0为延迟时间。这样，虽然输出响应y(t)的幅度有系数k倍的变化，而且有to时间的滞后，但整个波形的形状不变，举例示意于图4.74
