《定积分的概念讲义6页word》由会员分享，可在线阅读，更多相关《定积分的概念讲义6页word（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、定积分的概念【知识要点】（1）定积分的定义及相关概念分割如果函数fx）在区间a，b上连续，用分点a= x0x1-xi_1xi- 0。那么定积分Ib f （x）dx表示由直线x = a , x = b （ a主b ），y = 0和曲线ay = f所围成的曲边梯形的面积。(3 )定积分的性质 Ib 1dx = b - aa Jbfx)dx=Ajbfx)dx为常数).(其中k是不为0的常数)(定积分的线性性质)aa（定积分的线性性质） Jf1(x)2(x)dx=J 1(x)dx Jbf2(x)dx.aaa Jbf(x)dx=Jcf(x)dx+Jbfx)dx(其中acb).(定积分对积分区间的可加性)
2、aacf (x)dx Ib f (x)dx 土 Ib f (x)1a 2+ Ib f (x)dxck说明：推广：Ib f (x) 土 f (x) 土土 f (x)dx = Ib12maa推广：Ib f (x)dx = Ic1 f (x)dx + Ic2 f (x)dx +aa%性质解释：y性质1y=1 O a bx【例题精讲】例1 .计算定积分2(x +1)dx1分析：所求定积分即为如图阴影部分面积， 面积为5。即：2(x + 1)dx = 2思考：若改为计算定积分2 (x +1)dx呢？改变了积分上、下限，被积函数在-2,2上出现了负值如何解决呢?解：分割将区间0,1 等分为n个小区间:例2
3、.求曲线y = X2与x=1,y=0所围成的区域的面积n 1 n., A i i 1 1，一，每个小区间的长度为曷=一- =-n nn n n(i 1 点的纵坐标为为高，I n ) 近似取代 过各点做x轴的垂线，把梯形分成n个小曲边梯形，在分别用小区间左端Ax =-为底作小矩形，于是图中曲线i之下矩形的面积依次 n为：。2n 求和 所有这些小矩形的面积之和为S =02.1 + n2 1 +n1 = 。2 + 12 + 22 + n n3 L1A 21 n (n-1)(2n-1) n 36_ 一一.一 一. 1 仁 1 旻 1取极限5 =切节nxm & 1Y 2 -【习题精练】1.函数f(x)=
4、 x2在区间上，(A. f (x)的值变化很小B. f (x)的值变化很大C. f (X)的值不变化D.当n很大时，f (X)的值变化很小答案：D2.当n很大时，函数f (x)= X2在区间 二1,-上的值，可以用下列函数值近似代替的 n n是 ()(1 A. f -I n )答案：C3.A.B.C.C.D. f (0)函数f (x)在区间x ,x上的近似值等于() 只能是左端点的函数值f (x )i只能是右端点的函数值f (x )i+1可以是该区间内任一点的函数值f(&)(& ex ,x )i i i i+1以上答案均正确“以直代曲中，D.答案：C4,设f (x)在a, b上连续将m n等分
5、，在每个小区间上任取&,则17 (眼是A. lim f (&)ins . i=1C.limf (&)&i i n T3 . i=1B. lim f (&). 土n* i ni=1D. lim f G-&n T3 . 0)当n+8时，无限趋近于一个常数A,则A可用 np+1定积分表示为()A. J】dxB. j1xpdxC. j(L)pdx1/x、只 D J ()pdx0 x00 x0 n答案：B7.下列定积分为1是()A. j1 xdxB. j1(x + 1)dxC. j11dxD. j dx0000 2答案：C8, 求由y = ex, x = 2, y = 1围成的曲边梯形的面积时，若选择x
6、为积分变量，则积分区间为()A.0,e2B.0,2C.1,2D.0,1答案：B9. 由y=cosx及x轴围成的介于0与2兀之间的平面图形的面积，利用定积分应表达 为.答案：j2n I cos x dx 或 4j 010.计算 jT- x2 dx =02 cosxdx。0n答案：-。提示：这是求单位圆落在第一象限内部分的面积。411. 利用定积分的几何意义，判断下列定积分的值是正是负？3 . 一(1) j 4 sin xdx ；0(2) j0 exdx；-11(3) J 2lnxdx .13答案： (1)正(2)正(3)负。利用定积分的几何意义，比较下列定积分的大小.j1xdx，j1x2dx，j
7、 1 x3dx。答案：j 1 xdx N j 1 x2dx N j 1 x3dx。 00012. 计算下列定积分：(2) j4(x + 3)dx ；-1(4) j2 x3dx。-21(1) j1 (- x + 1)dx ；-2 3(3) j2cos xdx ； 0答案：(1)5 ； (2)竺；(3)0 ； (4)0。2213.利用定积分表示图中四个图形的面积:答案：（；(2)y = Xdx.S =定积分J f（x）dx的符(4),B, 一定是负的1)21dx ； y = 1Sy = J 2 2 dx ；(3yax 2 d则当a真b时，1.设函数f（x） 0y1) S = y =A, 一定是正的
8、C, 当0 a b时是正的，当a b 0时是负的D. 以上结论都不对答案：A2兀2兀，A. J sin xdx = J cos xdxB.J2兀J 02兀，sin xdx: J 0 cos xdxC. J 0 sin xdx = J cos xdxD.兀sin dx =I 0cos xdx2.下列式子中不成立的是（答案：C3.J1 (x3 + tan x + x 2 sin x)dx =A.C.2J0 (x3 + tan x + x2 sin x)dx12 J 1( x3 + tan x + x 2 sin x)dx 0Do 2J1I x3 + tanx + x2sinxI dx0B.答案：A
9、4. 由直线y = x, y = x +1,及x轴所围成平面图形的面积为（A. J（G-y）-yyb。J1【（ x +1） x /x00C. J 2 K1 y） ydyd。J】x Kx + 1）dx00答案：C5, 和式上 + 工 + + 当n+8时，无限趋近于一个常数A,则A用定积分可表n +1 n + 22n示为6,曲线y = x2,x = 0, y = 1 ,所围成的图形的面积可用定积分表示为答案：J1(1 一 x2)dx7. 计算曲边三角形的面积的过程大致为：分割；以直代曲；作和；逼近。试用该方法计算 由直线x=0，x=1，y=0和曲线y=x2所围成的曲边三角形的面积。(下列公式可供使用：12+22+ +n2=n(n + 1)(2n +1)6答案：138. 求由曲线j = x +1与x = 1,x = 3, j = 0所围的图形的面积.2 x, 0 x 1,5,1 x 2.答案：69. 计算 j2 f (x)dx，其中,f (x)=0答案：610. 弹簧在拉伸过程中，力与伸长量成正比，即力F(x)=kx (k是正的常数，x是伸长量)， 求弹簧从平衡位置拉长b所做的功。kb2 答案：可用“分割；以直代曲；作和；逼近”求得：w = j bkxdx =竺- 02
