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1、高考三角函数题型归类三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它的周期性和独特的对称性，再加上系统的丰富的三角公式，使其产生的的各种问题丰富多彩，层次分明，变化多端，I制绕三角函数的考题总是以新颖的形式出现，在高考试题中占据重要的位置，成为高考命题的热点。2006年高考从三角函数的图彖、周期性、奇偶然性、单调性、最值、求值及综合应用等各个方面全面考查三角知识。一。2005年高考三角函数题型归类lo直接考査三角函数的基本公式与基本运算。2例1、(1)(2006年湖北卷)若ABC的内角A满足sin2A=,则sinA+cosA=(A)C.D.V15317解A。Vsin2A=2sinAcosA0,Acos
2、A0o:.sinA+cosA0,sinA+cosA二J(sinA+cosA)2=/14-2sinAcosA=Vl+sin2A(2)(2006年安徽卷)己知竺vav仇tana+cota=-巴4 3(I)求tana的值；(II)求5 sin-+8sincos+11cos-8z222的值。sina-yj解：(I)由tana+cota=-得3tan2Q+10tana+3=0,即3tana=-31Stana=-9又a/2cos-2y/l-25/2cos2。考査三角函数的图象与性质。例2(2006年福建卷)已知函数f(x)=siii2x+a/3sillxcosx+2cos2x,xeR(I)求函数f(x)的
3、最小正周期和单调增区间；(口)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xeR)的图彖经过怎样的变换得到？分析：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图彖和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。石c1r3=sin2x+-cos2x+2 22=sin(2x+)+6 2f(x)的最小正周期T=龙.由题意得2k/r一2x+2k/r+9keZ,262即k-xcosx)f(x)=-(sinx+cosx)sinx-cosx=2 2sinx(sinx/3(l2sin2/?)即2/ir?0-sin0-石=0解得sin0=富或sin0=因为00/?)(cosAsinA)=1即si
4、nA-cosA=1VOA-666(II)由题知1+2sinBcosBcos2B-sin2B=-3,整理得sin2B-sinBcosB-2cos2B=0cosBH0tanEtanB2=0:.tanB=2或tanB=-1而tailB=-1|吏cos2B一sin2B=0,舍去AtanB=2tail龙(A+B)=-tan(A+B)=tanA+tanB1一tanAtanB2+/38+5/31-2石11例5(2006年江西卷)如图，已知AABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过ZiABC的中心G,设ZlCA=a(aGAsina=212siii(a+-)6同理可求得S2=汕2
5、12siii(a)6(2)y=5-+=144(sin2(6z+)+sin2(a)yjy；siira66=72(3+cot%)因为a9所以当a=或a=Z仝时，y取得最大值ynx=2403 333当06=殳时，y取得最小值ymm=21624。考査三角函数在实际生活中的的应用。例6。(2006年上海卷)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30,相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到r)?解：连接BC,由余弦定理得BC3=202+103-2X20x1ocOS120=
6、700于是,BC=10a/7.sinZACB=sinACB_sinl20o20107/ZACB(a+c)(c-a)=b(b-a)b-Ka-c=,利用余弦定理可得2cosC=l,即cosC=丄=C=-,故选择答案B。23【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余眩定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。例8。(2006年湖北卷)设函数f(x)=eL(lH-c),其中向量a=(sinx-cosc,b=(sillx,-3cosx),c=(-cos兀sinx),xeRo(【)、求函数f(x)的最人值和最小正周期;(1【)、将函数f(x)的图像按向量S平移，使平移后得到的图像关于坐标原
7、点成中心对称，求长度最小的点评：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力。解：(I)由题意得，f(x)=a(b+c)=(sinx,cosx)-(suixcosx,sinx3cosx)=sin2x2sinxcosx+3cos2x=2+cosZxsinlx=2+y/1sin(2x+).4所以，F(x)的最大值为2+JI,最小正周期是込=兀.23龙心3兀飾k龙3龙(II)由sin(2x+)=0得2x+=k.,即x=一,kZ,于是d=(-4428因为k为整数，要使同最小，则只有k=l,此时d=(彳，-2)即为所求.7T7T例9。(2006年全
8、国卷2)已知向量a=(sin&,1),b=(l,cosff),(I)若aLb,求&；(II)求Ia+bI的最大值.解：(I)若么丄筑则sm&+cos&=0,2分由此得tan&=1(&),所以=_务4分(II)由a=(sin&1),b=(l,cos)得Ia+bI=p(sin&+1)2+(1+cos?=yj3+2(sin&+cos6=寸3+2011(&+彳),10分当sin(&+=1时，|“+创取得最大值，即当&=扌时，|a+b|最大值为也+1.12分二。2007年高考三角函数命题展望与预测三角函数部分在高考中具有一定的的地位，但试题难度不太大，是学生的主要得分题，下面是对2007年高考三角函数方
9、向的几点预测：1. 有关三角函数图彖及其性质，其中求角的范围可能出现在选择题与填空题中，属基础题,要求学生掌握三角函数最基本的性质。2. 有关三角变换及求值并结合三角函数的题可能出现在选择题与填空题中，要求学生掌握三角函数最基本的三角变换。3. 研究三角形中的三角函数问题，是近几年中的高考热点题型。4. “横向三角题”即用三角函数知识解决一些实际问题可能出现在大题中，属中档题，要求学生掌握其性质变换，具有推理能力、逻辑思维能力。5. 高考中仍将重点考查两角和正、余弦公式及二倍角公式的应用。6. 注意三角函数与新知识平面向量、求导等的结合，应关注三角函数在解决立体几何与解析几何计算问题中的应用。
10、例1、如图，在南北方向直线延伸的湖岸上有一港IIA,一机艇以60km/h的速度从A出发，30分钟后因故障而停在湖里，已知机艇出发后先按直线前进，以后又改成正东，但不知最初的方向和何时改变方向。如何去营救，用图示表示营救的区域。分析：1要表示出一个区域，一般可在直角坐标系中表示，所以应首先建立直角坐标系；2题中涉及到方向问题，所以不妨用方向角e作为变量来求解。解：以A为原点，过A的南北方向直线为y轴建立直角坐标系，如图：设机艇的最初航向的方位角为8,设OP方向前进m到达点P,然后向东前进n到达点Q发生故障而抛锚。则m+n=30,令点Q的坐标为(x,y),丁机梃中途东拐,Ax2+y2900oP0Inx=msin+nn0eo,y=mcos&2
