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1、（新教材）北师大版精品数学资料第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1y2x6从x2到x2.5的平均变化率是()A0B0.5C2D2.5答案C解析y2x6从x2到x2.5的平均变化率是2，故选C.2已知物体自由落体的运动方程为s(t)gt2，g9.8m/s2，若v，当t趋于0时，v趋近于9.8m/s，则9.8m/s()A是物体从0s到1s这段时间的平均速度B是物体从1s到(1t)s这段时间的平均速度C是物体在t1s这一时刻的瞬时速度D是物体在tts这一时刻的瞬时速度答案C解析根据
2、瞬时变化率的概念可知3物体运动方程为st43t2，则t4时的瞬时速度为()A4B64C16D40答案D解析s(t43t2)t36t，s(4)436440.4f(x)是函数f(x)x32x1的导函数，则f(1)的值是()AB3C1D3答案D解析因为f(x)x22，所以f(1)(1)223.5(2014合肥一六八中高二期中)若可导函数f(x)的图像过原点，且满足 1，则f (0)()A2B1C1D2答案B解析f(x)图像过原点，f(0)0，f (0) 1，选B.6设正弦函数ysinx在x0和x附近的瞬时变化率为k1、k2，则k1、k2的大小关系为()Ak1k2 Bk1k2.7曲线yx3，x0在点P
3、处的切线的斜率为k，当k12时，P点坐标为()A(8，2) B(1，1)或(1,1)C(2,8) D(，)答案C解析设点P的坐标为(x0，y0)(x00)，k3x12，x02，x2，P点坐标为(2,8)，故选C.8(2013山西省太原五中月考)已知曲线yx31与曲线y3x2在xx0处的切线互相垂直，则x0的值为()A.BCD答案D解析由导数的定义容易求得，曲线yx31在xx0处切线的斜率k13x，曲线y3x2在xx0处切线的斜率为k2x0，由于两曲线在xx0处的切线互相垂直，3x(x0)1，x0，故选D.9(2013烟台质检)已知二次函数f(x)的图像如图所示，则其导函数f (x)的图像大致形
4、状是()答案B解析依题意可设f(x)ax2c(a0)，于是f (x)2ax，显然f (x)的图像为直线，过原点，且斜率2a0的解集为_答案(2，)解析由f(x)x22x4lnx，得函数定义域为(0，)，且f (x)2x222，f (x)0，解得x2，故f (x)0的解集为(2，)13(2014枣阳一中、襄州一中、宣城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是_答案4解析y，切线方程为y(xa)，令x0得，y，令y0得，xa，由题意知a2，a4.14已知函数f(x)的导函数f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)_.答
5、案6解析f(x)6x2f(2)，f(2)122f(2)f(2)12.f(x)6x24.f(5)30246.15已知函数f(x)及其导数f(x)，若存在x0，使得f(x0)f(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，下列函数中，存在“巧值点”的是_(填上正确的序号)f(x)x2，f(x)ex，f(x)lnx，f(x)tanx，f(x)x.答案解析中的函数f(x)x2，f(x)2x，要使f(x0)f(x0)，则x2x0，解得x00或2，故中函数存在巧值点；对于中的函数，要使f(x0)f(x0)，则ex0ex0，易知此方程无解，故中函数不存在巧值点；对于中的函数，要使f(x0)f(x0)，则ln
6、x0，由于函数ylnx与y的图像有交点，因此方程有解，故中函数存在巧值点；对于中的函数，要使f(x0)f(x0)，则tanx0，即sinx0cosx01，显然无解，故中函数不存在巧值点；对于中的函数，要使f(x0)f(x0)，则x01，即xxx010，设函数g(x)x3x2x1，则g(x)3x22x10且g(1)0，显然函数g(x)在(1,0)上有零点，故中函数存在巧值点三、解答题(本大题共6小题，共75分，前4题每题12分，20题13分，21题14分)16求下列函数的导数：(1)f(x)(x1)2(x1)；(2)f(x)22sin2；(3)f(x)；(4)f(x)2tanx.答案(1)f(x
7、)3x22x1(2)f(x)sinx(3)f(x)(4)f(x)解析(1)因为f(x)(x1)2(x1)(x22x1)(x1)x3x2x1，所以f(x)3x22x1.(2)因为f(x)22sin21cosx，所以f(x)sinx.(3)f(x).(4)因为f(x)2tanx，所以f(x).17求曲线yf(x)x23x2lnx在(3，f(3)处切线的斜率及切线方程答案斜率切线方程yx2ln3解析由已知x0，f(x)x3.曲线yf(x)在(3，f(3)处切线的斜率为f(3).又f(3)92ln32ln3.方程为y(2ln3)(x3)，即yx2ln3.18求过原点作曲线C：yx33x22x1的切线方
8、程答案xy0或23x4y0解析设切点为(x0，y0)，y3x26x2，切线斜率为3x6x02，切线方程为yy0(3x6x02)(xx0)切点在曲线C，y0x3x2x01，又切线过原点，y0(3x6x02)(x0)，由得02x3x1，2x3x10，因式分解得：(x01)2(2x01)0，x01或x0，两个切点为(1，1)，(，)两条切线方程为y11(x1)和y(x)即xy0或23x4y0.19蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)15，其中T(t)为体温(单位：)，t为太阳落山后的时间(单位：min)(1)从t0到t10，蜥蜴的体温下降了多少？(2)从t0到t10，蜥蜴的体温的平均变化率是
9、多少？它代表什么实际意义？(3)求T(5)，并说明它的实际意义答案(1)16(2)1.6(3)t5时蜥蜴体温下降的速度为1.2/min解析(1)在t0和t10时，蜥蜴的体温分别为T(0)1539，T(10)1523，故从t0到t10，蜥蜴的体温下降了16.(2)平均变化率为1.6()它表示从t0到t10，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6.(3)T(5) 1.2，它表示t5时蜥蜴体温下降的速度为1.2/min.20已知函数f(x)2x3ax与g(x)bx2c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有公共切线，求f(x)，g(x)的表达式答案f(x)2x38x，g(x)4x216解析f(x)2x3ax的
10、图像过点P(2,0)，a8，f(x)2x38x.f(x)6x28.对于g(x)bx2c的图像过点P(2,0)，得4bc0.又g(x)2bx，g(2)4bf(2)16.b4.c16.g(x)4x216.综上，可知f(x)2x38x，g(x)4x216.21求满足下列条件的函数f(x)(1)f(x)是一元三次函数，且f(0)0，f(0)0，f(1)3，f(3)0；(2)f(x)是一次函数，且x2f(x)(2x1)f(x)1.答案(1)f(x)x3x2(2)f(x)2x22x1解析(1)设f(x)ax3bx2cxd(a0)，则f(x)3ax22bxc.由已知，得，解之，得a，b，c0，d0.故f(x)x3x2.(2)由于f(x)为一次函数，则f(x)必为二次函数令f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，代入x2f(x)(2x1)f(x)1中，x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1，即(ba)x2(b2c)x(c1)0，由多项式恒等的条件知，解之，得.所以f(x)2x22x1.
