《八年级数学竞赛讲座：第三十五讲应用题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学竞赛讲座：第三十五讲应用题（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三十五讲 应用题在本讲中将介绍各类应用题的解法与技巧 当今数学已经渗入到整个社会的各个领域，因此，应用数学去观察、分析日常生活现象，去解决日常生活问题，成为各类数学竞赛的一个热点 应用性问题能引导学生关心生活、关心社会，使学生充分体会到数学与自然和人类社会的密切联系，增强对数学的理解和应用数学的信心 解答应用性问题，关键是要学会运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题，揭示其数学本质，将其转化为数学模型其求解程序如下： 在初中范围内常见的数学模型有：数式模型、方程模型、不等式模型、函数模型、平面几何模型、图表模型等 例题求解 一、用数式模型解决应用题 数与式是最基本的数学语言，由于它能够
2、有效、简捷、准确地揭示数学的本质，富有通用性和启发性，因而成为描述和表达数学问题的重要方法【例1】(2003年安徽中考题)某风景区对5个旅游景点的门票价格进行了调整，据统计，调价前后各景点的游客人数基本不变。有关数据如下表所示：景点ABCDE原价（元）1010152025现价（元）55152530平均日人数（千人）11232（1）该风景区称调整前后这5个景点门票的平均收费不变，平均日总收入持平。问风景区是怎样计算的？（2）另一方面，游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%。问游客是怎样计算的？（3）你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？ 思路点拨 （
3、1）风景区是这样计算的：调整前的平均价格：，设整后的平均价格：调整前后的平均价格不变，平均日人数不变平均日总收入持平 （2）游客是这样计算的： 原平均日总收入：101+101+152+203+252=160（千元）现平均日总收入：51+51+152+253+302=175（千元） 平均日总收入增加了 （3）游客的说法较能反映整体实际 二、用方程模型解应用题 研究和解决生产实际和现实生恬中有关问题常常要用到方程1440，故建造的4道门符合安全规定 三、用不等式模型解应用题 现实世界中的不等关系是普遍存在的，许多问题有时并不需要研究它们之间的相等关系，只需要确定某个量的变化范围，即可对所研究的问题
4、有比较清楚的认识【例3】 (苏州中考题)我国东南沿海某地的风力资源丰富，一年内月平均的风速不小于3ms的时间共约160天，其中日平均风速不小于6ms的时间占60天为了充分利用“风能”这种“绿色资源”，该地拟建一个小型风力发电场，决定选用A、B两种型号的风力发电机，根据产品说明，这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表：一天的发电量)如下表：日平均风速v(米/秒)v33v6v6日发电量 (千瓦时)A型发电机O36150B型发电机O2490根据上面的数据回答： (1)若这个发电场购x台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为 千瓦时；(2)已知A型风力发电
5、机每台O.3万元，B型风力发电机每台O.2万元该发电场拟购置风力发电机共10台，希望购机的费用不超过2.6万元，而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000千瓦时，请你提供符合条件的购机方案 根据上面的数据回答： 思路点拨 (1) (10036+60150)x=12600x； (2)设购A型发电机x台，则购B型发电机(10x)台, 解法一根据题意得： 解得5x 6故可购A型发电机5台，B型发电机5台；或购A型发电机6台，B型发电视4台 四、用函数知识解决的应用题 函数类应用问题主要有以下两种类型：(1)从实际问题出发，引进数学符号，建立函数关系；(2)由提供的基本模型和初始条件去确定函数
6、关系式 【例4】 (扬州)杨嫂在再就业中心的扶持下，创办了“润杨”报刊零售点对经营的某种晚报，杨嫂提供丁如下信息： 买进每份0.20元，卖出每份0.30元；一个月内(以30天计)，有20天每天可以卖出200份，其余10天每天只能卖出120份；一个月内，每天从报社买进的报纸份数必须相同当天卖不掉的报纸，以每份0.10元退回给报社；(1) 填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100150当月利润(单位：元) (2)设每天从报社买进该种晚报x份，120x200时，月利润为y元，试求出y与x的函数关系式，并求月利润的最大值 思路点拨(1)填表：一个月内每天买进该种晚报的份数100150当月利润(单位：
7、元)300390 (2)由题意可知，一个月内的20天可获利润：20=2x(元)；其余10天可获利润：10=240x(元)；故y=x+240，(120x200)， 当x=200时，月利润y的最大值为440元 注 根据题意，正确列出函数关系式，是解决问题的关键，这里特别要注意自变量x的取值范围 另外，初三还会提及统计型应用题，几何型应用题 【例5】 (桂林市)某公司需在一月(31天)内完成新建办公楼的装修工程如果由甲、乙两个工程队合做，12天可完成；如果由甲、乙两队单独做，甲队比乙队少用10天完成（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程所需的天数 (2)如果请甲工程队施工，公司每日需付费用2000元
8、；如果请乙工程队施工，公司每日需付费用1400元在规定时间内：A请甲队单独完成此项工程；B请乙队单独完成此项工程；C请甲、乙两队合作完成此项工程以上方案哪一种花钱最少? 思路点拨 这是一道策略优选问题工程问题中：工作量=工作效率工时 (1)设乙工程队单独完成此项工程需x天，根据题意得： , x=30合题意，所以，甲工程队单独完成此项工程需用20天，乙队需30天 (2)各种方案所需的费用分别为： A请甲队需200020=40000元； B请乙队需140030=4200元； C请甲、乙两队合作需(2000+1400)12=40800元 所队单独请甲队完成此项工程花钱最少【例6】 (2全国联赛初赛题
9、)一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天? 思路点拨 挖掘题目中隐藏条件是关键! 设考察队到生态区去用了x天，返回用了y天，考察用了z天，则x+y+z=60，17x25y=1，即25y17x=1 这里x、y是正整数，现设法求出的一组合题意的解，然后计算出z的值 为此，先求出的一组特殊解(x0，y0)，(这里x0，y0可以是负整数)用辗转相除法 25=l 17+8，17
10、=28+1，故1=1728=17-2(2517)=3 17-225 与的左端比较可知，x0 =3，y0=2 下面再求出的合题意的解 由不定方程的知识可知，的一切整数解可表示为x=3+25t，y=2+17t， x+y=42t5，t为整数按题意0x+y60，故仅当t=1时才合题意，这时x+y=425=37，z=60(x+y)=23 答：考察队在生态区考察的天数是23天注 本题涉及到的未知量多，最终转化为二元一次不定方程来解，希读者仔细咀嚼所用方法 【例7】 (江苏省第17届初中竞赛题)华鑫超市对顾客实行优惠购物，规定如下： (1)若一次购物少于200元，则不予优惠； (2)若一次购物满200元，但
11、不超过500元，按标价给予九折优惠； (3)若一次购物超过500元，其中500元部分给予九折优惠，超过500元部分给予八折优惠 小明两次去该超市购物，分别付款198元与554元现在小亮决定一次去购买小明分两次购买的同样多的物品，他需付款多少? 思路点拨 应付198元购物款讨论： 第一次付款198元，可是所购物品的实价，未享受优惠；也可能是按九折优惠后所付的款故应分两种情况加以讨论 情形1 当198元为购物不打折付的钱时，所购物品的原价为198元 又554=450+104，其中450元为购物500元打九折付的钱，104元为购物打八折付的钱；1040. 8 =130(元) 因此，554元所购物品的
12、原价为130+500=630(元)，于是购买小呀花198 +630=828(元)所购的全部物品，小亮一次性购买应付5000.9+(828500)0.8=712.4（元） 情形2 当198元为购物打九折付的钱时，所购物品的原价为1980.9=220(元) 仿情形1的讨论，购220+630=850元物品一次性付款应为5000.9+(850500)0.8=730(元)综上所述，小亮一次去超市购买小明已购的同样多的物品，应付款712.40元或730元【例8】 (2002年全国数学竞赛题)某项工程，如果由甲、乙两队承包，2天完成，需180000元；由乙、丙两队承包，3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，2天完成，需付160000元现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少? 思路点拨 关键问题是甲、乙、丙单独做各需的天数及独做时各方日付工资分两个层次考虑： 设甲、乙、丙单独承包各需x、y、z天完成 则 ，解得 再设甲、乙、
