微积分起源发展

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1、微积分的起源与发展主要内容：一、微积分为什么会产生二、中国古代数学对微积分创立的贡献三、对微积分理论有重要影响的重要科学家四、微积分的现代发展一、微积分为什么会产生微积分是微分学和积分学的统称，它的萌芽、发生与发展经历了漫长的时期。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、 螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微 分学基础的极限理论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著 的庄子一书的“天下篇”中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三 国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不 可割，则与

2、圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。到了十七世纪，哥伦布发现新大陆，哥白尼创立日心说，伽利略出版力学 对话，开普勒发现行星运动规律航海的需要，矿山的开发，火松制造提出 了一系列的力学和数学的问题，这些问题也就成了促使微积分产生的因素，微积 分在这样的条件下诞生是必然的。归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。已知物体移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加 速度；反过来，已知物体的加速度表为时间的函数的公式，求速度和距离。困难在于：十七世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化。例如，计算 瞬时速度，

3、就不能象计算平均速度那样，用运动的时间去除移动的距离，因为在 给定的瞬刻，移动的距离和所用的时间都是 0，而 0 / 0 是无意义的。但根据 物理学，每个运动的物体在它运动的每一时刻必有速度，是不容怀疑的。第二类问题是求曲线的切线的问题。这个问题的重要性来源于好几个方面：纯几何问题、光学中研究光线通过透 镜的通道问题、运动物体在它的轨迹上任意一点处的运动方向问题等。困难在于：曲线的“切线”的定义本身就是一个没有解决的问题。 古希腊人把圆锥曲线的切线定义为“与曲线只接触于一点而且位于曲线的一 边的直线”。这个定义对于十七世纪所用的较复杂的曲线已经不适应了。第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。

4、 十七世纪初期，伽利略断定，在真空中以 45角发射炮弹时，射程最大。 研究行星运动也涉及最大最小值问题。困难在于：原有的初等计算方法已不适于解决研究中出现的问题。但新的方 法尚无眉目。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、 一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。困难在于：古希腊人用穷竭法求出了一些面积和体积，尽管他们只是对于比 较简单的面积和体积应用了这个方法，但也必须添加许多技巧，因为这个方法缺 乏一般性，而且经常得不到数值的解答。穷竭法先是被逐步修改，后来由微积分的创立而被根本修改了。 欧多克斯的穷竭法是一种有限且相当复杂的几何方法。它的思想虽然古老， 但

5、很重要，阿基米德用得相当熟练，我们就用他的一个例子来说明一下这种方法。阿基米德证明的主要精神是证明圆可以被 】内接多边形穷竭.在圆里面内接一个 正方形，其面积大于圆 面积的1/2 （因为它大 于圆外切正方形面积的 1/2,而外切正方形的面 积大于圆的面积。）cEBABC设/tB是内接正方形 的一边，平分弧4B于点 C处并连接4C与CBO 作C处的切线，并作 及班垂直于切线。Zl = Z2 = Z3 =-2 故 DE / AB o 从而，是一个矩形, 其面积大于弓形昇CB的面 积。因此，等于矩形面积 一半的三角形的面积大于弓形/CB面积的一半。对正方形的每边都这样做，得到一个正八边形。边形所得到

6、的八边形 不仅玄正方形且包 含圆与正方形面积之 差的一半以上。16边形在八边形的每边 上也可按照玉4B上 作三角形血C那样地 作一个三角形，从而 得到一个正十六边 形。16边形32边形64边形这个正十六边形 不仅包含八边形且包 含圆与八边形面积之 差的一半以上。这种做法你想做 多少次就可以做多少 次。可以肯定，圆与 某一边数足够多的正 多边形面积之差可以 弄得比任何预先给定 的量还要小。二、中国古代数学对微积分创立的贡献微积分的产生一般分为三个阶段：极限概念；求积的无限小方法；积分与微 分的互逆关系 。最后一步是由牛顿、莱布尼兹完成的。前两阶段的工作，欧洲 的大批数学家一直追朔到古希腊的阿基米

7、德都作出了各自的贡献。对于这方面的 工作，古代中国毫不逊色于西方，微积分思想在古代中国早有萌芽，甚至是古希 腊数学不能比拟的。公元前 7 世纪老庄哲学中就有无限可分性和极限思想；公元 前4 世纪墨经中有了有穷、无穷、无限小（最小无内）、无穷大（最大无外） 的定义和极限、瞬时等概念。刘徽公元 263 年首创的割圆术求圆面积和方锥体积， 求得 圆周率约等于 3 .1416，他的极限思想和无穷小方法，是世界古代极限思 想的深刻体现。微积分思想虽然可追朔古希腊，但它的概念和法则却是 16 世纪下半叶，开 普勒、卡瓦列利等求积的不可分量思想和方法基础上产生和发展起来的。而这些 思想和方法从刘徽对圆锥、圆

8、台、圆柱的体积公式的证明到公元 5 世纪祖恒求球 体积的方法中都可找到。北宋大科学家沈括的梦溪笔谈独创了“隙积术”、 “会圆术”和“棋局都数术”开创了对高阶等差级数求和的研究。南宋大数学家秦九韶于1274 年撰写了划时代巨著数书九章十八卷，创 举世闻名的“大衍求一术”增乘开方法解任意次数字（高次）方程近似解， 比西方早500 多年。特别是 13世纪 40 年代到14 世纪初，在主要领域都达到了中国古代数学的 高峰，出现了现通称贾宪三角形的“开方作法本源图”和增乘开方法、“正负开 方术”、“大衍求一术”、“大衍总数术”（一次同余式组解法）、“垛积术”（高阶等 差级数求和）、“招差术”（高次差内差

9、法）、“天元术”（数字高次方程一般解法）、 “四元术”（四元高次方程组解法）、勾股数学、弧矢割圆术、组合数学、计算技 术改革和珠算等都是在世界数学史上有重要地位的杰出成果，中国古代数学有了 微积分前两阶段的出色工作，其中许多都是微积分得以创立的关键。 中国已具 备了17 世纪发明微积分前夕的全部内在条件，已经接近了微积分的大门。可惜 中国元朝以后，八股取士制造成了学术上的大倒退，封建统治的文化专制和盲目 排外致使包括数学在内的科学日渐衰落，在微积分创立的最关键一步落伍了。三、对微积分理论有重要影响的重要科学家公正的历史评价，是不能把创建微积分归功于一两个人的偶然的或不可思议 的灵感的。十七世纪

10、的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上节四 类问题作了大量的研究工作，如法国的费马、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的 巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理 论。为微积分的创立做出了贡献。事实上，牛顿的老师巴罗，就曾经几乎充分认识到微分与积分之间的互逆关 系。牛顿和莱布尼茨创建的系统的微积分就是基于这一基本思想。在牛顿与莱布 尼茨作出他们的冲刺之前，微积分的大量知识已经积累起来了。甚至在巴罗的一 本书里就能看到求切线的方法、两个函数的积和商的微分定理、X的幂的微分、 求曲线的长度、定积分中的变量代换、隐函数的微分定理等等。但最重要的 2 个人物还是下面两

11、位：1. 牛顿：17 世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果 得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和 变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依 赖关系。到了 17 世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物 理学家艾萨克牛顿（16421727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解 决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数 术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是求 曲边形面积、运用无穷多项方程的计算法和流数术和无穷极数。这些概 念是力不概

12、念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他 把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图 形一一线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。（1）已知流量之间的关系，求它们的流数的关系，这相当于微分学。（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于 积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值，求曲线的切线和 曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。牛顿已完全清楚上述（1）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是

13、建立 起微分学和积分学之间的联系。牛顿在 1665 年 5 月 20 日的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天 作为诞生微积分的标志。牛顿于 1642 年出生于一个贫穷的农民家庭，艰苦的成长环境造就了人类历 史上的一位伟大的科学天才，他对物理问题的洞察力和他用数学方法处理物理问 题的能力，都是空前卓越的。尽管取得无数成就，他仍保持谦逊的美德。2. 莱布尼茨德国数学家莱布尼茨（G.W. Leibniz 16461716）是17、18世纪之交德国 最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书， 涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。他是从几何方面独立

14、发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数 学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是他们这些工作是零碎的， 不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱 布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概 念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布 尼茨高一等，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简 洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度一一阿拉伯数码促进了算术与代数发 展一样，促进了微积分学的发展。莱布尼茨是数学史上最杰出的符号

15、创造者之一。牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今 仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动， 运用符号的技巧是数学成功的关键之一。3. 优先权的争论从始创微积分的时间说牛顿比莱布尼茨大约早10 年，但从正式公开发表的 时间说牛顿却比莱布尼茨要晚。牛顿系统论述“流数术”的重要著作流数术和 无穷极数是 1671 年写成的，但因 1676年伦敦大火殃及印刷厂，致使该书 1736 年才发表，这比莱布尼茨的论文要晚半个世纪。不幸的是，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的 创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的

16、数学家和英国数学 家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛 顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完 成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10 年左右，但是正式公开 发表微积分这一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处， 也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从 1699年始 延续了一百多年。应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样， 牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上， 其说不一，十分含糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是