《考研高数精品笔记》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研高数精品笔记（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一章 函数、极限、连续第1节 函数a) 反函数和原函数关于y=x对称。b) 只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。c) 多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。d) 2k个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘积还是偶函数。(k=0,1,2.)。e) 如果f(x)是周期函数，周期为T，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。第2节 极限a) 左右极限存在且相
2、等极限存在。b) 如果函数在X0极限为A，则可以将函数改写为f(X)=A+(x)，其中。（等价无穷小）c) 极限存在极限唯一。（极限唯一性）d) ，且A0，则在x的邻域内，f(x)0。（保号性）e) 函数f(x)在点x=x0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U，在U内f(x)有界。（有界性）f) 当limf(x)=A，limg(x)=B，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=A+Blim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=A-Blim(f(x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=A*Blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)
3、=A/B limg(x)不等于0lim(f(x)n=(limf(x)n=Anlim(f(x)g(x)=Ab（极限的四则运算）g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界量乘积仍然是无穷小。h) =li. l=0，f(x)=o(g(x).ii. l=，f(x)是g(x)低阶.iii. 0l或-l0，l1，同阶.iv. l=1，等价无穷小，记作f(x)g(x).特别的，如果=l(l0)，则称f(x)是g(x)的k阶无穷小。i) 等价无穷小代换：x0时，xsinxtanxarcsinxarctanxex-1ln(1+x)1-cosxx2 =1-cosxx2-1x =
4、-1xtanx-xx-sinx特殊的，x0时ax-1xlnaj) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。k) 要注重推广形式。例如【x0时，xsinx】，如果当xx0时，f(x)0，那么将原式中x换成f(x)也成立。l) 求极限的方法：i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。1. 抓小头公式。（x0）2. 抓大头公式。（x）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项的系数比】）iii. 两个准则：1. 夹逼准则2. 单调有界必有极限iv. 两个重要极限：1. =1（利用单位圆和夹逼准则进行证明）2. （利用单调有界准则进行证明）
5、 口诀：倒倒抄。（结合抓头公式）v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界量乘积为无穷小。2. 12种等价无穷小的代换。vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。vii. 利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形式，则极限就是导数。viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式）ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系数表达式：2. 当=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。常用的麦克劳林公式：ex sinx cosx ln(x+1) (1+x)mx. 洛必达法则使用前提：（1）分子分母都趋向于0
6、。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。第一层次第二层次0*：转换成或-：通分化为（常用换元的方法求解）第三层次 使用进行转化。第3节 连续与间断a) 连续某点：极限值=函数值函数在该点连续开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。闭区间：开区间连续切在端点连续b) 间断第一类间断点（左右极限都存在）可去间断点：左右极限相等跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。振荡间断点：因振荡而不存在。c) 初等函数的连续性i. 基本初等函数在相应的定义域内连续。ii. 区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。iii. 连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。iv. 原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。v. 一切初等函数在相应定义区间内连续。d) 闭区间连续函数的性质如果f(x)在a,b连续，则：1. f(x)在a,b有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零点定理：f(a)*f(b)0的区间，f(x)单调增的区间；f(x)0凸函数：f(x)0时收敛，值为。当p1时发散。(二) 无界函数的广义积分（瑕积分）f(x)在a点无界：，若极限存在，称积分收敛。若极限不存在，称积分发散。f(x)在b点无界：，若极限存在
