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1、专题九 二次函数综合题类型一 设问与线段有关已知抛物线 yx2bxc 的图象与 x 轴交于 A(3，0)和 B(1，0)，点 D 为抛物线的顶 点(1)求抛物线的函数解析式；(2)画出此二次函数的大致图象；(3)点 M 为线段 AB 上一点(点 M 不与点 A，B 重合)，过点 M 作 x 轴的垂线，与抛物线交 于点 P，过点 P 作 PQAB 交抛物线于点 Q，过点 Q 作 QNx 轴于点 N.若点 P 在点 Q 的左 边，求当矩形 PQNM 的周长最大时点 M 的横坐标解：(1)把 A(3，0)，B(1，0)两点坐标分别代入 yx2bxc 中， 93bc0， b2，得 解得1bc0. c3
2、.抛物线的解析式为 yx22x3.(2)由(1)知，抛物线的解析式为 yx22x3，令 x0，得 y3.点 C(0，3)，当 y5 时，x22x35，解得 x4 或 x2，点(4，5)，(2，5)也在抛物线上，描点，A(3，0)，B(1，0)，C(0，3)，D(1，4)，(4，5)，(2，5) 连线，即二次函数的大致图象，如图所示(3)如图，由(1)知，抛物线的解析式为 yx22x3(x1)24，抛物线的对称轴为直线 x1，设点 M 的坐标为(m，0)PMx 轴，P(m，m22m3)PQx 轴，Q(m2，m22m3) QNx 轴，N(m2，0)，则 PMm22m3，MNm2m2m2，矩形 PM
3、NQ 的周长为 2(PMMN)(m22m32m2)22m28m22(m2)210，当 m2 时，矩形 PQNM 的周长最大，此时点 M 的横坐标为2.AGCADC 2 2 4AGCADCAGC类型二 设问与面积有关如图，关于 x 的二次函数 yx2bxc 经过点 B(1，0)，点 A(3，0)，与 y 轴相交于 点 C，点 D 为二次函数的顶点，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上(1)求抛物线的解析式；(2)连接 AC，在线段 AC 上方的抛物线上是否存在点 F， FAC 的面积最大，若存在， 求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由(3)若 G 是直线 AC 下方的抛物线上一点，且
4、S 2S ，求点 G 的坐标 解：(1)将点 B(1，0)，点 A(3，0)代入二次函数 yx2bxc，1bc0， 得 解得93bc0. b2， c3.抛物线的解析式为 yx22x3.(2)如图 1，作 FQy 轴交 AC 于点 Q.设直线 AC 的解析式为 ymxn.3mn0， 把 A(3，0)，C(0，3)代入，得 解得n3. m1，m3.直线 AC 的解析式为 yx3.假设存在这样的点 F， FAC 的面积最大，并设点 F 的坐标为 F(x，x22x3)(3 x0)则 Q(x，x3)，FQx22x3(x3)x23x.1 3 3 9 3 3 2 27S S S 3FQ (x23x) x2
5、x x . FAC AFQ CFQ 2 2 2 2 2 83 3 15当 x 时，FAC 的面积最大，此时点 F 的坐标为 ， .2(3)如图 2，DE 为二次函数的对称轴，E 在 x 轴上，D(1，4)，E(1，0) 点 N 与点 E 的横坐标相同，且点 N 在直线 yx3 上，N(1，2)1DN2，S 3DN3.ACD 2S 2S ， 6.作 GHy 轴交直线 AC 于 H， 设 G(x，x22x3)，其中 x3 或 x0，则 H(x，x3)，GH(x3)(x22x3)x23x.无论 x3，还是 x0，AGH 和CGH 的 GH 边上的高的差始终是 3，1 3S S 3GH (x23x)6
6、，x4 或 x1， GAC AGH CGH 2 2G(4，5)，或 G(1，0) 3 3 四 边BOCE形 2 类型三 设问与特殊图形的判定有关1如图 1，已知抛物线 yax2bx3(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C(1)求抛物线的解析式，并求对称轴与顶点坐标；(2)设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三 角形？若存在，请写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由(3)如图 2，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的 最大值，并求此时点 E 的坐标解：
7、(1)抛物线 yax2bx3(a0)与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，ab30， a1， 解得9a3b30. b2.抛物线的解析式为 yx22x3(x1)2 顶点坐标为(1，4)4.抛物线的对称轴为直线 x1，(2)由(1)得抛物线的解析式为 yx22x3，对称轴为直线 x1. 设点 P 的坐标为(1，m)当 x0 时，y3.C(0，3)，M(1，0)当 CPPM 时，(1)2(3m)2m25 5 ，解得 m ，点 P 的坐标为 1， ；3当 CMPM 时，(1)232m2，解得 m 10. 点 P 的坐标为(1， 10)或(1， 10)；当 CMCP 时，由勾股定理，得(1)
8、232 去)，(1)2(3m)2，解得 m6 或 m0(舍点 P 的坐标为(1，6)5综上所述，点 P 的坐标为(1， 10)，(1， 10)，(1，6)， 1， . (3)过点 E 作 EFx 轴于点 F.设 E(n，n22n3)(3n0)EFn21 12n3，BFn3，OFn，S BFEF (OCEF) OF2 21 1 3 9 9 3 3 2 63 (n3)(n22n3) (n22n6)(n) n2 n n ，2 2 2 2 2 2 8 3 3 63 0，当 n 时，四边形 BOCE 的面积最大，最大值为 ， 2 2 8 2 43 15此时，点 E 的坐标为 ， .ABPCOE1 2 2
9、.如图，已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B(3，0)，与 y 轴交于 点 C，连接 BC 交抛物线的对称轴于点 E，D 是抛物线的顶点(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点 P 在第一象限内的抛物线上，且 S 4S ，求点 P 的坐标； (3)在平面内，是否存在点 M 使点 A，B，C，M 构成平行四边形？如果存在，请写出 M 的坐标；如果不存在，请说明理由解：(1)将点 A(1，0)和点 B(3，0)代入抛物线 yx2bxc，1bc0， 得 解得93bc0. b2，c3.抛物线的解析式为 yx22x3(x1)24.顶点坐标为 D(1，4)(2)令 x0，
10、得 y3.与 y 轴的交点 C 的坐标为(0，3)1 3 1设 P(x，y)(x0，y0)，则 13 ，S 4y2y.COE 2 2 ABP 23S 4S ，2y4 ，即 y3.x22x33.ABP COE 2解得 x 0(不合题意，舍去)，x 2，点 P 的坐标为(2，3)(3)假设存在这样的点 M，并设点 M(m，n)13 0m 00 3n若 AB 为对角线，则 ， ，2 2 2 2m2，n3，M(2，3)；30 1m 30 n0若 BC 为对角线，则 ， ，2 2 2 2m4，n3，M(4，3)；10 3m 30 0n若 AC 为对角线，则 ， ，2 2 2 2m4，n3，M(4，3)综
11、上所述，使点 A，B，C，M 构成平行四边形的点 M 的坐标为(2，3)或(4，3)或(4，3) 2 类型四 设问与相似三角形存在性有关如图，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，与 y 轴交于点 C 点 D 是直线 BC 上方抛物线上一动点(1)求抛物线的解析式；(2)如图 1，连接 BD，CD，设点 D 的横坐标为 m(0m3)，BCD 的面积为 S.试求出 S 与 m 的函数关系式，并求出 S 的最大值；(3)如图 2，设 AB 的中点为 E，作 DFBC，垂足为点 F，连接 CD，CE，是否存在点 D， 使得以 C，D，F 三点为顶点的三角形与CEO 相似？若存在，请写出点 D 的坐标；若不存 在，请说明理由解：(1)抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于点 A(1，0)，B(3，0)，y(x1)(x3)x22x3，抛物线的解析式为 yx22x3.(2)过点 D 作 DMy 轴，交 BC 于点 M.当 x0 时，y3，C(0，3)，直线 BC 的函数解析式为 yx3.点 D 的横坐标为 m(0m3)，D(m，m22m3)，M(m，m3)，DMm22m3(m3)m23m.1 3 3 9 3 3 2 27S OBDM (m23m) m2 m m .2 2 2 2 2 83 9S 与 m 的函数关系式为 S
