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1、第八章热传导方程的傅里叶解第一节热传导方程和扩散方程的建立8.1.1热传导方程的建立推导热传导方程和前面弦振动所用的数学方法完全相用，不同之处在于具体的物理规律不同。这里用到的是热学方面的两个基本规律，即能量守恒和热传导的傅里叶实验定律。热传导的傅里叶实验定律：设有一块连续的介质，选定一定的坐标系，并用uyt) 表示介质内空间坐标为的一点在广时刻的温度。若沿x方向有一定的温度差，在x方向也 就一定有热量的传递。从宏观上看，单位时间内通过垂直*方向的单位面积的热量g与温 度的沿x方向的空间变化率成正比，即(8-1.1)g称为热流密度，R称为导热系数。公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好
2、相 反，即热量由高温流向低温。研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上存在温度差，则有即热流密度矢量7与温度梯度5成正比。下面以一维均匀细杆为例，根据傅里叶实验定律和能量守恒定律推导介质中的热传导方程。第一步，定变量。研究介质X位置处在广时刻的温度(兀/)。第二步，取局部。在介质内部隔离出从x到x+Ax-一段微元长度，在广到/ + /时间内 温度的变化% = u(x,t + At)-u(x9t) o第三步，立假设。假设均匀介质的横截面积为A,质量密度为,比热为C,热传导系 数为k。第四步，找规律。隔离出来的微元长度在r到/ + 时间内吸收的热量为：(8-1.2)在广到/ +/时间内，
3、同过*位置处的横截面的热量为:(8-1.3)在广到/ +/时间内，同过x+心位置处的横截面的热量为:Qz二Qz 人=一比冷|z必(8-1.4)如果在微元段内有其他的热源，假设在单位时间单位体积内产生的热量为FW),则该热源在微元内产生的热量为：(8-1.5)第五步，列方程。根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在此时间内温度升高所需要的热量。得到: 令V cpcp则得到热传导方程为叫=a2uxx + f(x,t)(8-1. 6)当介质内部无其他热源时，热传导方程是齐次的，为ut = cruxx(8-1. 7)8.1.2扩散方程的建立扩散问题研究的是杂质在其他介质中的浓度分布，得到的扩散方程
4、与热传导方程有完全一样的形式。过程略。8.1.3热传导问题的定解条件与弦的振动一样，其定解条件包括边界条件和初始条件。初始条件为：己知初始时刻细杆上各点的温度分布(兀0)其边界条件有三种：第一边界条件：己知细杆端点的温度(0J)或者做/,/)。第二边界条件：己知通过端点的热量，即已知端点的八例如：当介质尸0端和外界绝热，此时以(0)=0。第三边界条件：例如，己知端点庐/与某种介质按热传导中的牛顿实验定律进行着热 量交换，己知端点的温度为(/,/),与其接触的介质的温度为蚁),有牛顿实验定律知道： 在单位时间内由端点x=l流入介质的热量为由傅里叶实验定律可知，在单位时间内，端点尸流出热量为：由Q
5、=Q就可以得出第三边界条件为其中，k为热传导系数，h为热交换系数。第二节混合问题的傅里叶解8. 2.1混合问题的解对于有界杆的热传导问题，我们先考虑齐次方程和齐次边界条件下的混合问题。即：第一步，分离变量，将二阶偏微分方程转化为两个常微分方程。令将此代入泛定方程(8-2.1),得到两个常微分方程：Tr(t) + AazT(t) = Q(8-2.4)Xx) + /X(x) = 0(8-2.5)第二步，将飒X,/)原来的边界条件转化为X(x)的边界条件。将此u(x,t) = X(x)T(t)代入边界条件，得X(x)的边界条件:第三步，求解本征值问题通过讨论分析得出只有兄0时，方程(8-2.5)的解
6、才有意义。因此，几0时解(8-2.5) 式得X(x) = 4cosFsin/Zx.将这个通解代入边界条件(8-2. 6),就有fA = 0;叩AcOSyfAl + BsiRy/Tl = 0. jBsil】抜7 = 0.于是sillVJ/ = 0 ,即 = H7T ( = 1,2,3,).得到本征值：相应的本征函数是：第四步，求特解，并进一步叠加出一般解：对于每一个本征值血，解(8-2.5)式得出相应的THt):-(竺莎1X0 = Cne 1-得到了满足偏微分方程和边界条件的特解：m 2un (x, t) = Cne( 1 1 sin x (/? = 123,).得到方程的一般解为8 _严尸 /
7、=!.1J7T smx(8-2.7)第五步，利用本征函数的正交性确定叠加系数:现在根据初始条件中的己知函数0W定出叠加系数将上面的一般解代入初始条 件，并利用本征函数sinx的正交性得到系数为(8-2.8)公式(8-27)给出了均匀细杆上温度场的分布，表明温度场随时间做指数衰减。第三节 初值问题的傅里叶解8. 3.1利用傅里叶积分求出热传导的初值问题对于无穷长一维介质上的热传导问题，可以表示为解：令代入泛定方程(8-3.1),得到两个常微分方程：TXt) + Aa2T(t) = 0(8-3.3)(8-3.4)Xff(x) + AX(X)= 0由公式(8-3. 5)可以看出：当兄0,令2 =(8
8、-3.3)和(8-3. 4)的解为与“有关系的一系列解，记为=(8-3.6)解式(8-3.4)得到：于是得到热传导的一系列解为ufl(x,t) = e/r1 A(/)cos x4- B(/)sm “x( 8-3. 7)由于这里的“没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则的一般解为公式(8-3.7)对所有“值对应解的叠加，由于“为连续实数，因此，以兀刀的一般解为公式(8-3.7)对从到g进行积分。即u(x,t) =A(“) cos /a- + B(“) sin(8-3. 8)把初始条件代入上式得到:其中傅里叶系数:從x) =A(/)cos px+ 5(/) sin似g) COS驱(8-3.9)(
9、8-3. 10)把公式(8-3. 10)与(8-3.11)带入公式(8. 3-9)得到:利用匸因此,u（x.t）可以写为”CM) =(8-3. 12)(8-3. 12)& 3. 2热传导傅里叶解的物理意义细杆上孑位置的点热源在整个细杆上引起的温度分布为: 解（8-312）式可以看作是由各个瞬时点热源引起的温度分布的叠加。第四节一端有界的热传导问题8.4.1左端有界热传导定解问题的解方法1：直接用分离变量法求解。解：令将此代入泛定方程（8-4.1）,得到两个常微分方程：r(t) + Aa2T(t) = 0X(x) + 2X(x) = 0(8-4.4)(8-4.5)解式(8-4.4)得到:T(t)
10、 = CeAaZ,(8-4. 7)由公式(8-4. 7)可以看出：当兄0令2 = /2 o (8-4. 4)和(8-4. 5)的解为与“有关系的一系列解，记 为(8-4.8)解式(8-4.5)得到:把边界条件(8-4.6)代入上式得到：4(“) = 0,因此于是得到热传导的一系列解为ufl(x,t) = era A(/)cos jlix + B(“)sm px(8-4. 9)由于这里的“没有边界条件的限制，所以为任意实数值。则的一般解为公式(8-4.9) 对所有“值对应解的叠加，由于“为连续实数，因此，”(x,f)的一般解为公式(8-4.9)对 从到g进行积分。即”(兀 t)=匸 B(“)厂聞
11、 sin “xd “(8-4. 10)把初始条件代入上式得到：得出:(8-4. 12)把公式(8-4. 12)带入公式(8-4. 10)得到:(8-4. 13)(M) = J；久勺匸八“ tcos “( - x) - cos(歹 + x)d “储利用匸e =而，得出因此，可以写为CM) =祕)曲弋df(8-4. 14)方法2：把半无界拓展为无界如何拓展？先看无界热传导问题在坐标原点的温度分布具有什么样的特点。由第三节可知，无界热传导问题的解为在x = 0点，有：当仪x）为奇函数时，“（OJ） = 0满足第一类齐次边界条件。当仪x）为偶函数时，匕（0J） = 0满足第二类齐次边界条件。所以：（1
12、）当半边界为第一类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为:则其解为把第二项积分变量和区间变为O-g,则（2）当半边界为第二类齐次边界条件时，把半无限问题扩展为无限问题为:则其解为把第二项积分变量和区间变为O-g,则非齐次偏微分方程的求解齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离法中起着关键的作用：因为方程和边 界条件是齐次的，分离变量法才得以实现。如果定解问题中的方程和边界条件不 是齐次的，还有没有可能应用分离变量法呢？在第七章弦的振动问题中针对非齐次边界条件先要进行齐次化处理，才能用 分离变量法已经进行了分析说明。对于非齐次方程的解法在这里详加分析说明。例如：强迫振动的定解问题：该弦的振动位移
13、可以认为是由三部分干扰引起的：第一部分是由初始位移久X）和初始速度0（x）引起的振动;第二部分是由边界条件“卫）,血干扰引起的 振动；第三部分是由强迫力7XV）干扰引起的振动。因此，求解上述问题强迫振 动问题，可以转化为求解下面三个定解问题：ult = cruxx (ox0),(1.1)I： 0),(1.2)Lo =(p(x),uti=o = 0(x) (0x I).(1.3)(0x0),(2.1)11：仁0 =卫)，|.日=“2(/)(/)，(22)心0 = ，讥=0 (0vx/).(2.3)(3.2)(3.3)% =a2uzx + f(x,t) (0x0),(3.1)III: V/L=o
14、= 0 WL=/=O (，)，w|/=o = 0,mJ/=o = 0 (0x/).设方程I的解为方程II的解为“n，方程III的解为坷n,则原定解问 题的解为以上三个定解问题解的和，即方程I直接用分离变量法求解；方程II为非齐次边界条件，先将边界条件 齐次化后用分离变量法求解。下面研究方程III的解法。基本解法一将未知解展开为本征函数法该方法的前提条件是必须知道对应齐次方程的本征函数，第七章第四节“非 齐次方程的求解”例题用该方法求解，但最后落脚点还是非齐次常微分方程，非 齐次常微分方程的解法用冲量法（基本方法三）或积分变换法（拉普拉斯变换法 或傅里叶变换法）。基本解法二非齐次方程齐次化找出特解令（%,/）= M（x,r）+v（x,r）,保持原有的齐次边界条件不变，使得w（x,r）满足:则V（x,r）满足常微分方程的边值问题：该方法的关
