高等数学在经济中的应用

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1、高等数学在经济中的应用高等数学在经济中的应用应用数学系 陈华石油大学（华东）石油大学（华东）应用数学系 陈华一、边际分析1 一元导数在经济分析中的应用石油大学（华东）应用数学系 陈华注：边际函数反映的是绝对变化率，因而，它所反映因变量y关于自变量变动的敏感程度时离不开计量单位，这使得难以比较使用不同计量单位产品的变化情况。例如：石油大学（华东）应用数学系 陈华在经济学中，弹性是指经济变量之间存在函数关系时，因变量对自变量变动的反应程度，其大小可以用两个变量变动的百分比之比，即弹性数来表示。设函数Yf(X)可微，其中变量 X 为自变量，Y为因变量，9E =则E称为函数f(X)从X到X+X两点间的

2、弹性。称为f(x)在x出的弹性。二、弹性分析石油大学（华东）应用数学系 陈华取定 则其经济意义：在 时，当x产生1的改变时f(x)近似改变 注： 两点间的弹性是有方向性的，因为“相对性”是对初始值而言的。 另外其性质见课本，此略。石油大学（华东）应用数学系 陈华1。基本概念成本是指生产某产品时为消耗的生产要素（劳动力、设备、原料等）所支付的费用。总成本是指生产一定数量的产品(Q)所需要的成本总额，它有固定成本C1和可变成本C2(Q)两部分组成。即Q为产量注：固定成本C1是指一定限度内不随产量变动而变动的费用，入场费费用，机器设备折旧费，职工工资等。可变成本C2使之随产量变动而变动的费用，如原材

3、料，能源费用等。三、成本石油大学（华东）应用数学系 陈华平均成本：当生产一定量产品时，平均每单位产品的成本。平均成本函数边际成本（MC)：总成本的变化率。边际成本函数2。常用成本函数模型 在不同经济环境下，函数形式也有所不同，函数中的系数一般利用给定的统计数据进行拟合（最小二乘法），然后根据有关的经济理论来确定一个与所给数据近似程度最好的函数关系。石油大学（华东）应用数学系 陈华3。最低成本问题 在既定的生产规模条件下，如何生产使平均成本最低？分析：为使成本最小，应有上式导出经济学中一个重要命题：使平均成本最小的生产水平，正是使边际成本等于平均成本的生产水平。石油大学（华东）应用数学系 陈华例

4、：已知某商品的成本函数为 ，当产量Q为多少时，平均成本最小？解I：解I：解II：即石油大学（华东）应用数学系 陈华四、需求 1。定义 ：一种商品的需求是指消费者在一定时期内在各种可能的价格水平下愿意而且能够（有支付能力）购买的该商品的数量。影响需求的因素很多，主要有：商品本身的价格、消费者的偏好、消费者货币收入、相关商品的价格、人们对未来的预期等，如果把消费者的偏好、收入等因素在一段时间内看成不变的，商品的需求量 Qd主要依赖于价格P，即称为需求函数称为边际需求石油大学（华东）应用数学系 陈华2。需求函数的性质一般来讲， 是单调减少函数（商品价格低，需求大，价格高，需求小）, 还可写为原因1：

5、收入效应（商品价格引起了消费者实际收入的提高）原因2：替代效应（用相近的商品替代，如高档衣服可用棉布衣或化纤衣服替代）3。常用的需求函数模型石油大学（华东）应用数学系 陈华4。需求的价格弹性（需求弹性）由于 是单调减少函数为负数令经济学中有如下解释：若 >1， 称该商品的需求量对价格富有弹性，即价格的变化将引起需求量的较大变化（价格上涨1，需求减少 ）若 =1， 称该商品具有单位弹性，对价格的变化与需求量变化一样（价格上涨1，需求减少 1 ）若 <1， 称该商品的需求量对价格缺乏弹性，即价格的变化只引起需求量的微小变化（价格上涨1，需求减少 ）石油大学（华东）应用数学系 陈华富有弹

6、性的商品常称为奢侈品，奢侈品的价格如上涨，会引起需求量的大幅下降，缺乏弹性的商品常称为必需品（如日常用品），价格的变化对需求不会有大的影响。5。需求分析1）p为0时，Q为1，这是饱和需求量2）拐点可由二阶导数求得石油大学（华东）应用数学系 陈华 从该商品的需求函数曲线可以看出，当价格下降时，该商品的销售量会大幅上升，当价格下降到拐点附近时，需求量变化不大，但如果价格远离拐点而大幅度下降时，销售量又会大幅上升。（许多耐用品属于这种类型）石油大学（华东）应用数学系 陈华6。需求函数的其它数学模型如把影响需求的其它因素视为固定的，把消费者的收入作为影响需求的主要因素，则需求函数称为（Engle）函数

7、，即 静态函数 动态函数如果恩格尔函数是单增的，称该商品为正常商品，否则为劣等商品，因此，边际大于零为正常商品。石油大学（华东）应用数学系 陈华例题1 设某商品需求函数为 ，求p=3,p=6时的需求弹性，并说明其经济意义。例题2 某产品滞销，准备以降价扩大销路，如果该产品的需求弹性在1.52之间，试问当降价10时，销售量能增加多少？例题3 某商品的需求量x对价格p的弹性为 ，市场对该商品的最大需求量为1（万件）求需求函数。石油大学（华东）应用数学系 陈华五、供给1。供给是指生产者（厂商）在一定时期和一定价格条件下愿意而且能够提供的某种商品的数量。 影响供给的因素也非常多，在其它因素看成不变时，

8、只讨论供给和价格的关系。供给函数 其中P为价格，Qs为供给量一般来讲，商品价格低，生产者不愿生产，供给少；商品价格高，供给多。因此，一般供给函数为单调函数，所以有反函数 也称为供给函数。2。函数模型石油大学（华东）应用数学系 陈华3。供给弹性供给的价格弹性（以下简称供给弹性）是一种商品的供给量对其价格变动的反应程度。其弹性系数等于供给量变动的百分比与价格变动的百分比之比。称为该商品在P点处的供给弹性记作Es.经济意义：若Es>1表示价格每提高1，供给量增加Es%.石油大学（华东）应用数学系 陈华六、均衡价格均衡价格是指市场上需求量和供给量相等时的价格。1。静态均衡价格（需求量、供给量仅与

9、价格有关）QPQdQsQ0P0Q0称为均衡商品量P0称为均衡价格当P<P0，这时Qd>Qs 供不应求，必然导致价格上涨，最后又回到均衡状态。当P>P0，这时Qd<Qs 供过于求，必然导致价格下跌，最后又回到均衡状态。石油大学（华东）应用数学系 陈华2。动态均衡价格（蛛网模型） 在市场条件下，商品的供给量依赖于前一时期的成交价格，而现在时期内成交价格又会影响下一时期的供给量，但该时期的成交价格决定该时期的需求量，讨论这种经济模式下的动态均衡价格称为时间延迟的动态均衡价格。求解该一阶常系数线性非齐次差分方程即可石油大学（华东）应用数学系 陈华蛛网图石油大学（华东）应用数学系

10、 陈华七、收益1。总收益：生产者出售一定量产品所得到的全部收入。P价格，Qd需求量（产量）平均收益函数边际收益函数石油大学（华东）应用数学系 陈华2。用需求弹性分析总收益的变化ERE=1E<1E>1石油大学（华东）应用数学系 陈华若E<1，需求变化的幅度小于价格变动的幅度，此时R递增，即价格上涨，总收益增加；价格下跌，总收益减少。如果提高生活必需品(E<1)的价格，厂家会受益，但因此使人民生活水平下降，政府会行政干预，如面粉、盐等。若E>1，需求变化的幅度大于价格变动的幅度，此时R递减，即价格上涨，总收益增减；价格下跌，总收益减加。对于奢侈品来讲，价格上涨，总收益

11、不升反降（需求量的减少）。若E=1，总收益取得最大值。综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，它随商品需求弹性的变化而变化，其关系如上图。石油大学（华东）应用数学系 陈华3。最大利润原则设利润函数为收益减成本，即因此，利润函数取得最大值的必要条件为其导数等于零。石油大学（华东）应用数学系 陈华石油大学（华东）应用数学系 陈华石油大学（华东）应用数学系 陈华石油大学（华东）应用数学系 陈华实际问题有解石油大学（华东）应用数学系 陈华例7 某旅行社组织风景区旅游团，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降到450元。

12、每团乘飞机，旅行社须付给航空公司包机费15000元。（1）写出飞机票的价格函数。（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？石油大学（华东）应用数学系 陈华例88(1997) 设某商品的销售量x与价格p的函数关系为p=7-0.2x(万元/吨)，成本C与销售量x的函数关系为C=3x+1(万元)。（1）若每销售1吨商品，政府要征税t(万元)，求销售量为多少 时，可使商家获利最大？（2） t为何值，政府税收总额最大？石油大学（华东）应用数学系 陈华2 一元积分学在经济分析中的应用一、经济总量的计算由边际函数求总函数，设另外石油大学（华东）应用数学系 陈华例1 某产品的总成本C(Q)（万元）的边际成

13、本 （万元/百台），总收益R(Q) （万元）的边际收益 （万元/百台）。其中Q为产量，固定成本为1万元，问：（1）产量为多少事总利润最大？（2）从利润最大是再生产一百台，总利润增加多少？例2 设某商品每天生产单位是固定成本为20元，边际成本函数为 （元/单位），如果这种商品规定的销售价为18元，且产品可以全部售出，问每天生产多少单位时才能获得最大利润？石油大学（华东）应用数学系 陈华二、资本现值与投资问题1。连续复利（复合利率）向银行存款x元，银行的年利率为r，则n年后的存款额为 又称为复利计算。n为计算复利的次数如果一年之内结算m次，每个结算周期的利率为r/m， n年后计算复利的次数为mn，则n年后的存款额为 ，结算周期变为无穷小，这意味着银行连续不断地向顾客付利息，这种存款方式称为连续复利，此时存款为石油大学（华东）应用数学系 陈华所以相当于以年利率 进行按年计息结算。所以用连续复利得到的存款比按年结算要大。2。在银行业务中有一种“均匀流”存款方式使货币像水流一样以定常流量a源源不断地流进银行，比如商店把固定收入存入银行。（零存整取） 某业主向以均匀流方