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1、高二（上）数学专题讲稿（八） 圆锥曲线题型与方法大观引言：教材详细介绍了本章的学习目的，而且还帮助我们梳理了主要的学习方法，计有如下几条：（1） 用代数方法研究几何问题（坐标法），利用方程讨论曲线的几何性质；（2） 利用运动变化和对立统一的观点思考问题；（3） 图形的直观性会启发我们的思路。本讲拟按照教材的小结和指引对圆锥曲线中的主要问题以及分析方法做一全面展示和归纳，以期能抛砖引玉， 读者举一而三。第一部分 教材例题、习题重现（）定义和方程篇1、（例）分别在下列条件下，求椭圆的标准方程： （1）两焦点的坐标分别为，椭圆上一点到两焦点的距离之和为； （2）两焦点的坐标分别为，椭圆经过点。2、（
2、例的变式）已知双曲线经过两点，求双曲线的标准方程。3、（习题第2题）求双曲线的标准方程： （1）焦距是，虚轴长为； （2）离心率为，经过点； （3）渐近线方程为，且经过点。4、（ 1题变式）已知抛物线的顶点在原点，且经过点，求抛物线的标准方程。（）“定义法”、“直接法”、“代入法”之轨迹篇5、（例2）已知是两个定点，且的周长为16，求顶点的轨迹方程。6、（例2）点与点的距离比它到直线的距离小1，求点的轨迹方程。7、（例1）一动圆与圆外切，同时与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程。8、（ 14题）一圆经过点，且和直线相切，求圆心的轨迹方程。【以上4题为“定义法”求轨迹的例证】9、（例2）求证到圆心距离
3、为的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。10、（例3）已知一圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点向轴作垂线段，求线段中点的轨迹。11、（例5）以原点为圆心，分别以为半径做两个圆，大圆的半径与小圆相交于点，点在轴的射影为，点在上的射影为。当点在大圆上运动时，求点的轨迹方程。12、（ 7题）求与定点及直线的距离之比为的点的轨迹方程。13、（ 组5题）两定点的坐标分别为，动点满足，求动点的轨迹方程。【以上4题为“直接法”，“代入法”求轨迹的例证】（）范围与最值篇14、（）已知，求证：恒成立，且单调递减。15、（ 13题）直线与曲线没有公共点，求实数的范围。16、（ 组6题）求曲线上
4、与原点距离最近的点的坐标。（）“定值、定点”篇17、（练习4变式）椭圆上任意一点（异于长轴端点）和长轴的两端点连线的斜率之积为定值。18、（习题 1题变式）双曲线上任意一点（异于实轴端点）和实轴的两端点连线的斜率之积为定值。19、（习题 6题）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。20、（习题 7题）过抛物线的焦点的一条直线和此抛物线相交于两点，求证：21、（ 例2 变式）直线与抛物线相交于两点，且，求证：直线过定点。（）直线与圆锥曲线篇22、（ 8题）直线与椭圆相交于两点，求线段之长。23、（例3）斜率为的直线经过抛物线的焦点，与抛物线相交于两点，求线段之长。24、（例3）正三角形
5、的一个顶点位于坐标原点，另两个顶点在抛物线上，求这个三角形的边长。第二部分 高考题汇编（）定义和方程篇1、（09四川理）双曲线的左右焦点分别为，一条渐近线为，点在双曲线上，则 2、（06辽宁）曲线与曲线的焦距相同 离心率相等 焦点相同 准线相同3、（06全国）的顶点在椭圆上，顶点为椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在上，则的周长为 4、（06天津）如果双曲线的两个焦点为，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是 5、（06重庆）是右焦点为的椭圆上三个不同的点，则“，成等差数列”是“”的条件充要 必要不充分 充分不必要 既不充分又不必要6、（06江西）设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上
6、一点，若，则点的坐标为 7、（06四川）把椭圆的长轴平均分成8份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分与，是椭圆的一个焦点，则：8、（09陕西）双曲线的离心率为，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线的方程；（2）是双曲线上一点，两点在双曲线的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。9、（09四川理）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与该椭圆相交于两点，且，求直线的方程。10、（06天津）如图，以椭圆的中心为圆心，分别以为半径作大圆和小圆。过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限的点，连结交小圆于点，设直线是小圆的切
7、线。（1）证明：，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于两点，证明：。（）“定义法”，“直接法”，“代入法”之轨迹篇11、（06北京）已知点，动点满足，记动点的轨迹为。（1）求的方程；（2）若是上不同的两点，为坐标原点，求的最小值。12、（09江西）点为双曲线（为正常数）上任意一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于。（1）求线段中点的轨迹的方程；（2）设轨迹与轴相交于两点，在上任取一点，直线分别交轴于两点。求证：以为直径的圆过两个定点。13、（06全国）在平面直角坐标系中，有一个以为焦点，离心率为的椭圆，设椭圆在一象限的部分为曲线，动点在上，在点处的切线与轴
8、的交点分别为，且向量，求：（1） 点的轨迹方程；（2） 的最小值。14、（06陕西）如图，三个定点，三个动点满足。（1） 求动直线斜率的变化范围；（2） 动点的轨迹方程。（）范围与最值篇15、（06全国）抛物线上的点到直线的距离的最小值为 16、（09四川）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值为 17、（09重庆）已知以为周期的函数，若方程恰有5个实根，则的取值范围是 18、（09重庆理）已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上存在一点，使得，则双曲线离心率的范围是19、（辽宁理）已知是双曲线的左焦点，点，点是右支上的动点，则的最小值为20、（06辽宁）已知点是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量满足，设圆的方程为。（1）证明线段是圆的直径；（2）当圆的圆心到直线的距离的最小值为时，求的值。21、（06全国）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的两动点，且，过两点分别作抛物线的切线，设切线的交点为。（1）证明为定值；（2）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值。22、（06福建）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点。（1）求过点，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（2）过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围。6
