数学分析Ⅲ练习答案

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1、数学分析练习答案练习一答案： 一、填空题 1、平面点集E=(x,y)|0x2+y21的内部为 ,边界为 . 解 intE=(x,y)|0x2+y21,E=(x,y)|x2+y2=0或x2+y2=1 112、平面点集E=,n,m为整数的聚点集为 . nm解 (0,0) 3、设f(x,y)=解 4x-y2ln(1-x-y222),则函数f(x,y)的定义域为 . (x,y)0x+y20,$d=e,(x,y):0|x-0|d,0|y-0|d,有 x2y-0|x|e x2+y2x2y=0. 故lim2x0x+y2y0练习二答案： 一、填空题 1、设z=exy,则解 zz= ,= . xyzz=yexy

2、,=xexy xy2、设f(x0,y0)=0,fx(x0,y0)=4,fy(x0,y0)=5,则 f(x0+Dx,y0)f(x0,y0+Dy)= ,lim= . Dx0Dy0DxDyf(x0+Dx,y0)f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)=lim=fx(x0,y0)=4 解 limDx0Dx0DxDxf(x0,y0+Dy)f(x,0y+0Dy)-f(x,y0)0=lim=fy(x0,y0)=5 limDy0Dy0DyDylimx3、设z=ln1+,则dz(1,1)= . yz111z1xx=,=-2=-解 Q xxx1+yx+yy1+y(x+y)yyy z1z1=,=- x(1,1)2y

3、(1,1)2111=)dx-dy=(dx-dy) dz(1,12224、设z=sin(x2y),则dz= . zz=2xycos(x2y),=x2cos(x2y) 解 Qxy dz=2xycos2(xy)d+x2xco2s(xy=)dy5、求曲面z=arctan2xcoy dx(s(xy)+2)xdyyp在点1,1,处的切平面方程为 ,法线x4方程 . yx=-2,z=解 Qzx yx+y2x2+y211zx(1,1)=-,zy(1,1)= 22yp故曲面z=arctan在点1,1,处的切平面方程为 x4p11p z-=-(x-1)+(y-1),即x-y+2z-=0 4222法线方程为 x+y

4、-2=0x-1y-14,即 =p11-12x-z-2+=0-422二、选择题 f(a+x,b)-f(a-x,b)1、设f(x,y)在点(a,b)处偏导数存在,则lim=( C ) x0xz-p1fx(a,b) 2f(a+x,b)-f(a,b)-f(a-x,b)-f(a,b) f(a+x,b)-f(a-x,b)=lim解 limx0x0xxf(a+x,b)-f(a,b)-f(a-x,b)-f(a,b)=limx0xf(a+x,b)-f(a,b)f(a-x,b)-f(a,b)+lim =lim x0x0x-x=fx(a,b)+fx(a,b)=2fx(a,b)A、fx(a,b) B、fx(2a,b)

5、 C、2fx(a,b) D、2、设f(x,y)在点(x0,y0)处存在关于x的偏导数,则A、limf(x,y)=( A ) x(x0,y0)f(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0,y0) B、lim Dx0Dx0DxDxf(x0+Dx,y0)f(x0+Dx,y0+Dy)-f(x0+Dx,y0)C、lim D、lim Dx0Dx0DxDxf(x0+Dx,y0)-f(x0,y0)f(x,y)解 =limDx0x(x0,y0)Dxxy22x+y0223、函数f(x,y)=x+y在点(0,0)处有( D ) x2+y2=00A、连续且偏导数存在 B、连续但偏导数

6、不存在 C、不连续且偏导数不存在 D、不连续但偏导数存在 解 当(x,y)沿y=x趋于(0,0)时 x21limf(x,y)=limf(x,x)=lim2= x0x0x0x+x22y0当(x,y)沿y=0趋于(0,0)时 limf(x,y)=limf(x,0)=lim0=0 x0y0x0x0故limf(x,y)不存在,于是函数f(x,y)在点(0,0)处不连续. x0y0 QlimDx0f(Dx,0)-f(0,0)-00fD(y0-,f)(0,0)-=lim=0,lim=lim= Dx0DxyD0xD0DyDxDy000 f(x,y)在原点存在偏导数且fx(0,0)=0,fy(0,0)=0 4

7、、在点(x0,y0)处的某邻域内偏导数存在且连续是f(x,y)在该点可微的( B ) A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 解 P175定理2 5、下面命题正确的是( C ) A、若f(x,y)在(x0,y0)连续,则f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数存在; B、若f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数存在,则f(x,y)在(x0,y0)处连续; C、若f(x,y)在(x0,y0)可微,则f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数存在; D、若f(x,y)在(x0,y0)处的两个偏导数存在,则f(x,y)在(x0,y0)处可微. 解 P172定理1 x2y,x2+y20

8、22三、讨论函数f(x,y)=x+y在原点附近的连续性、偏导数的存在性及可微性. 0,x2+y2=01x2y1解 Q当(x,y)(0,0)时，且limx=0. 02xx02x+y22y0x2ylimf(x,y)=lim2=0=f(0,0) x0x0x+y2y0y0f(x,y)在点(0,0)的连续. f(Dx,0)-f(0,0)0-0f(0,Dy)-f(0,0)0-0Qlim=lim=0,lim=lim=0 Dx0Dx0DxDy0Dy0DyDxDyf(x,y)在点(0,0)存在偏导数且fx(0,0)=fy(0,0)=0. QDz-dzr=fx(0,0)Dx+fy(0,0)Dyf(Dx,Dy)-f

9、(0,0)-Dx+Dy22=Dx2DyDx2+Dy2Dx+Dy22=Dx2Dy(Dx2+Dy322)当(Dx,Dy)沿Dy=Dx趋于(0,0)时 limr0Dz-dzr=limDx2DyDx0Dy0(Dx2+Dy322)Dx31 =lim=Dx022Dx322当(Dx,Dy)沿Dy=0趋于(0,0)时 limr0Dz-dzr=limDx2DyDx0Dy0(Dx2+Dy322)=lim0=0 Dx0Dx3Dz-dz故极限limDx2DyDx0Dy0(Dx2+Dy322)不存在,从而极限limr0r不存在,即f(x,y)在点(0,0)不可微. 练习三答案： 一、求下列复合函数的偏导数或导数 uzz1、z=x2lny,x=,y=3u-2v,求,. vuvzz