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1、直线方程（知识整理）. 一基础知识回顾（1）直线的倾斜角一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是.注：当或时，直线垂直于轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.（2） 直线方程的几种形式点斜式、截距式、两点式、斜截式.特别地，当直线经过两点，即直线在轴，轴上的截距分别为时，直线方程是：.附直线系：对于直线的斜截式方程，当均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果变化时，对应的直线也会变化.当为定植
2、，变化时，它们表示过定点（0，）的直线束.当为定值，变化时，它们表示一组平行直线.（3）两条直线的位置关系10两条直线平行两条直线平行的条件是：和是两条不重合的直线. 在和的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线，它们在轴上的纵截距是，则，且或的斜率均不存在，即是平行的必要不充分条件，且）推论：如果两条直线的倾斜角为则. 20两条直线垂直两条直线垂直的条件：设两条直线和的斜率分别为和，则有这里的前提是的斜率都存在. ，且的斜率不存在或，且的斜率不存在. （即是垂直的充要条件）（4）两条直线的交角直线到的角（方向
3、角）；直线到的角，是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角，它的范围是，当时.两条相交直线与的夹角：两条相交直线与的夹角，是指由与相交所成的四个角中最小的正角，又称为和所成的角，它的取值范围是，当，则有.（5）点到直线的距离点到直线的距离公式：设点，直线到的距离为，则有.两条平行线间的距离公式：设两条平行直线，它们之间的距离.（6）对称问题：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线到对称直线距离相等.若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.点关于某
4、一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上（方程），过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程）可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线对称的解法：y换x，x换y. 例：曲线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x 2)=0. 曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a x, 2b y)=0. 二范例解析例1已知直线l 过点P(-1,1)且与A(-2, 3)、B(3,2)为端点的线段相交，试求直线l倾斜角的取值范围。思路1）分别求出直线PA、PB的斜率；2）数形结合，利用正切函数的单调性求解。破解 1）先求出；2）由图7-3知，满
5、足题意的直线l的斜率为。因为直线l的倾斜角，而上分别是增函数，从而知，又知也满足条件，故倾斜角取值范围为收获 1）直线的斜率是判定两直线位置关系的重要依据；2）数形结合思想方法是求解解析几何问题的重要方法之一；3）已知斜率范围探求倾斜角的范围，最关键的一环是利用正切函数的单调性处理。例2ABC的顶点，试求A平分线AT所在直线方程。思路 利用角平线性质CAT=BAT结合到角公式求出直线AT的斜率即可。破解 如图7-1，由已知易求。由角平线的性质CAT=BAT知AC到AT的角与AT到AB的角相等。即可求出，从而A平分线AT所在直线方程为：收获1） 充分利用平面几何性质将问题转化成解析几何中的有关问
6、题是研究平面几何问题的关键。2） 注意夹角与到角公式的区别，分清什么时候用夹角（或到角）公式，以免产生错解。3） 处理有关几何问题最好作出图形增强直观效果，为寻找解题突破口提供依据。例3某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为(90180)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(ab) 问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？命题意图 本题是一个非常实际的数学问题，它不仅考查了直线的有关概念以及对三角知识的综合运用，而且更重要的是考查了把实际问题转化为数学问题的能力
7、 知识依托 三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值 错解分析 解决本题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tanACB的最大值 如果坐标系选择不当，或选择求sinACB的最大值 都将使问题变得复杂起来 技巧与方法 欲使看画的效果最佳，应使ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值 解 建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，AB为画的宽度，O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点C(x,0)(x0),欲使看画的效果最佳，应使ACB取得最大值 由三角函数的定义知 A、B两点坐标分别为(acos,asin)、(bco
8、s,bsin),于是直线AC、BC的斜率分别为 kAC=tanxCA=,于是tanACB=由于ACB为锐角，且x0,则tanACB,当且仅当=x，即x=时，等号成立，此时ACB取最大值，对应的点为C(,0),因此，学生距离镜框下缘 cm处时，视角最大，即看画效果最佳 例4等腰三角形一腰所在的直线的方程是x2y20.底边所在的直线的方程是：x+y1=0,点（2,0)在另一腰上，求这腰所在直线的方程.解：设，的斜率分别为， 到的角是到的角是，则。因为，所围成的三角形为等腰三角形，所以 又直线 经过点（-2，0），故其方程为：。 例5已知M(x,y)是以A(-2, 3)、B(3,2)为端点的线段上一
9、动点，试求的取值范围。思路 1）若令，代入线段AB所在的直线方程消去y可得到可求出t的范围，但计算较繁。2）变换角度，由数入形，联想直线斜率公式可使问题轻松解决。破解1） 令 ，不难发现t就是线段AB一动点M与定点P（-1，1）连线的的斜率（如图3）2） 易求出3） 由图7-5知，满足题意的直线PM的斜率为，即的取值范围为。收获形如“”的最值范围问题，可联想直线斜率公式，数形结合解决。拓展 对于曲线y=f(x)上任一动点P（x,y），探求的范围问题都可联想直线斜率公式，数形结合解决。例6过直线2xy8=0和直线xy3=0的交点作一条直线，使它夹在两条平行直线xy5=0和xy2=0之间的线段长为
10、，求该直线的方程. 思路1） 利用距离公式求出两平行直线的距离；2） 利用勾股定理求出此直线夹在两平行直线间的线段长；图7-93） 利用夹角公式求出直线斜率，即可求出直线方程。破解如图7-9所示，由求出交点M（5，2）设所求直线 与分别交于B、A两点， 由已知 |AB|=，又l1、l2间距离，在 RtABC中，设l1到l的角为，则.设直线 l的斜率为k，由夹角公式得 .所求直线的方程为 2xy8=0或x2y1=0. 收获1、 数形结合，利用图形直观特征，能有效地找到解题思路。2、 平面几何中有关定理（如本题中的勾股定理），能很好地将几何问题化归为代数问题来处理。例7已知实数满足方程试求：的最小
11、值。思路1） 变形联想两点距离公式；2） 由数形结合，问题转化为直线一动点P（x,y）到定点（-1，0）距离的平方和。破解由变形为，联想两点距离公式，不难发它的几何意义：直线一动点P（x,y）到定点A（-1，0）距离的平方和。如图7-10知当时，也就是说点A到直线l距离的平方即为所求。收获1）形如的代数式的范围最值问题，可联想距离公式求解。2）由数想形，将代数问题转化为几何问题，构造几何图形，对求解具有特殊结构的代数式范围最值问题有着意想不到的神奇效果。例8 求过点且与直线平行的直线方程解一：已知直线的斜率为，因为所求直线与已知直线平行，因此它的斜率也是 根据点斜式，得到所求直线的方程是，即 解二：设与直线平行的直线的方程为， 经过点， ，解得 所求直线方程为例9 当为何值时，直线过直线与的交点?解法一：解得交点(4，9),将,9代入得93，解得.解法二：过直线与的交点的直线系方程为0 整理得：与直线比较系数，得3即1. 例10 求两平行线：，：的距离.解法一：在直线上取一点P(，0），因为，所以点P到的距离等于与的距离.于是解法二：又.由两平行线间的距离公式得d.
