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1、第4章 随机变量的数字特征一、选择题1设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X-2Y的方差是(A) 8 (B) 16 (C) 28 (D) 44 2若随机变量和的协方差，则以下结论正确的是（ ）(A) 与相互独立 (B) D(X+Y)=DX+DY(C) D(X-Y)=DX-DY (D) D(XY)=DXDY3设随机变量和相互独立，且，则（ ）(A) (B) (C) (D) 4设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布，则随机变量=X+Y与=X-Y不相关的充要条件为(A) EX=EY (B) E(X2)- (EX)2= E(Y2)- (EY)2 (C) E(X2)= E(Y
2、2) (D) E(X2)+(EX)2= E(Y2)+ (EY)2 5设、是两个相互独立的随机变量且都服从于，则的数学期望（ ） (A) (B) 0 (C) (D) 6设、是相互独立且在上服从于均匀分布的随机变量，则（ ）(A) (B) (C) (D) 7设随机变量和的方差存在且不等于0，则D(X+Y)=DX+DY是X和Y（ ）(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件 (B) 独立的充分条件，但不是必要条件(C) 不相关的充分必要条件 (D) 独立的充分必要条件8若离散型随机变量的分布列为，则（ ）(A) 2 (B) 0 (C) ln2 (D) 不存在9将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面
3、向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于（A）1 （B）0 （C） （D）110设随机变量X和Y独立同分布，具有方差0，则随机变量U=X+Y和V=X-Y（A）独立 (B) 不独立 （C） 相关 (D) 不相关11随机变量X的方差存在，且E(X)=m，则对于任意常数C，必有 。（A）E(X-C)2=E(X2)-C2 （B）E(X-C)2=E(X-m)2 （C）E(X-C)2 E(X-m)2 （D）E(X-C)2 E(X-m)212设XU(a,b), E(X)=3, D(X)=, 则P(1X3) =（ ）（A）0 （B） （C） （D） 二、填空题1设表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次
4、命中目标的概率为0.4，则2设一次试验成功的概率为，进行了100次独立重复试验，当时，成功的次数的标准差注意是标准差还是方差！的值最大，其最大值为3设随机变量X在区间-1,2上服从均匀分布，随机变量，则的方差是方差不是期望！DY=4，则，5设随机变量服从于参数为的泊松分布，且已知，则6设(X,Y)的概率分布为： YX-10100.070.180.1510.080.320.2则E(X2*Y2)=0.28!X2 Y2不独立！ 。7已知, 则E(X)= 。8XN（m ，s2），YN（m，s2），X与Y相互独立, 则Cov(X+Y, X-Y) =_。9随机变量X1,X2,X3相互独立,且都服从均匀分布
5、U(0,2), 令X=3X1-X2+2X3 ,则E(X)=_，D(X) 。10设XY=0.9，Z=X-0.4，则Y与Z的相关系数为 。11设随机变量Xij 独立同分布，EXij=2，则行列式 的数学期望EY= 。三、简答题1从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5。设X为同种遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望。2好的基础题！已知随机变量服从二维正态分布，且与分别服从正态分布与，它们的相关系数，令，求的数学期望与方差(2) 求与的相关系数。3已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中
6、仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求（1）乙箱中次品数X的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 4游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第5分钟、25分钟和55分钟从底层起行。假设一游客在早八点的第X分钟到达底层候梯处，且X在0,60上均匀分布，求该游客等候时间Y的数学期望。5一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对某种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间10,20上的均匀分布。商店没售出一单位商品可得利润1000元；若需求量超过了供货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润为500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期
7、望值。6两台同样自动记录仪，每台无故障工作的时间服从参数为5的指数分布；首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自行开动。试求两台记录仪无故障工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差使用公式更简单！。7某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p1)，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格品时即停机检修。设开机后第一次停机时已生产了的产品个数为X，求X的数学期望和方差。8设随机变量X的概率密度为 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求的数学期望。9设随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|X-Y|的方差用定义！。10假设二维随机
8、变量(X, Y)在矩形G=(x,y)|0x1,0y1上服从均匀分布。记 。（1）求(U, V)的概率分布；（2）求U和V的相关系数r。11.假设随机变量U在区间-2,2上服从均匀分布，随机变量 试求（1）X和Y的联合概率分布；（2）D(X+Y)。12设A，B是两个随机事件；随机变量 试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是A与B相互独立。参 考 答 案一、选择题1D 2B 3C 4B 5C 6C 7C 8D 9A 10D 11D 12D二、填空题118.4 21/2，5 38/9 47，19 51 6-0.02 718/11 8094，14/3 100.9 110三、简答题1解：X服从二项分布，
9、其分布律为X0123P27/12554/12536/1258/125其分布函数为X的数学期望为2解：因,故有,，(2)3解：（1）由题意知，X服从超几何分布，故；（2）又全概率公式，可得。4解：有题意，因此。5解：设Z表示商店每周所得的利润，则所以 。6解：以X和Y表示先后开动的记录仪无故障工作的时间，则T=X+Y，从而有由已知，从而有：。7解：X服从几何分布，P(X=i)=qi-1p，i=1,2,；.8解：设A表示X的观察值大于，故；由题意可知，YB(4,1/2)；故。9解：有独立正态分布的性质，X-YN(0,1)，先求；再求；所以。10解：（1）；（2）,，可计算，最后得到 。11.解：（1）；（2）,所以 E(X+Y)=0，D(X+Y)=2。12证明：EX=P(A)-1-P(A)=2P(A)-1，EY=2P(B)-1，从而X和Y不相关的充要条件是，即，当且仅当P(AB)=P(A)P(B)，当且仅当 A,B独立。
