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1、第1节 静矩和形心4.1 静矩和形心 任何受力构件的承载能力不仅与材料性能和加载方式有关，并且与构件截面的几何形状和尺寸有关如：计算杆的拉伸与压缩变形时用到截面面积 A ，计算圆轴扭转变形时用到横截面的极惯性矩 I等 A 、 I等是从不同角度反映了截面的几何特性，因此称它们为截面图形的几何性质 4.1 静矩和形心 设有一任意截面图形如图 4 1 所示，其面积为 A 选用直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y,z) 处取一微小面积 dA ，定义微面积 dA 乘以到 y 轴的距离 z ，沿整个截面的积分，为图形对 y 轴的静矩 S，其数学体现式 (4 -1a ) 同理，图形对 z 轴的静矩为 (4-
2、1b)图 4-1 截面静矩与坐标轴的选用有关，它随坐标轴 y 、 z 的不同而不同因此静矩的数值也许是正，也也许是负或是零静矩的量纲为长度的三次方 拟定截面图形的形心位置 ( 图 4-1 中 C 点 ): (4 -2a ) (4-2b) 式中 y、 z 为截面图形形心的坐标值若把式 (4-2) 改写成 (4-3) 性质： 若截面图形的静矩等于零，则此坐标轴必然通过截面的形心 若坐标轴通过截面形心，则截面对此轴的静矩必为零 由于截面图形的对称轴必然通过截面形心，故图形对其对称轴的静矩恒为零。 4 ）工程实际中，有些构件的截面形状比较复杂，将这些复杂的截面形状当作是由若干简朴图形 ( 如矩形、圆形
3、等 ) 组合而成的对于这样的组合截面图形，计算静矩 (S) 与形心坐标 (y、 z ) 时，可用如下公式 (4-4) (4-5) 式中 A， y ， z 分别表达第个简朴图形的面积及其形心坐标值， n 为构成组合图形的简朴图形个数 即：组合图形对某一轴的静矩等于构成它的简朴图形对同一轴的静矩的代数和组合图形的形心坐标值等于组合图形对相应坐标轴的静矩除以组合图形的面积组合截面图形有时还可以觉得是由一种简朴图形减去另一种简朴图形所构成的 例 4-1 已知 T 形截面尺寸如图 4-2 所示，试拟定此截面的形心坐标值 图 4-2 解： (1) 选参照轴为 y 轴， z 轴为对称轴， (2) 将图形提成
4、 I 、两个矩形，则 (3) 代入公式 (4-5) 4.2 惯性矩、惯性积和惯性半径 设任一截面图形 ( 图 4 3) ，其面积为 A 选用直角坐标系 yoz ，在坐标为 (y 、 z) 处取一微小面积 dA ，定义此微面积 dA 乘以到坐标原点o的距离的平方，沿整个截面积分，为截面图形的极惯性矩 I微面积 dA 乘以到坐标轴 y 的距离的平方，沿整个截面积分为截面图形对 y 轴的惯性矩 I极惯性矩、惯性矩常简称极惯矩、惯矩 数学体现式为 极惯性矩 (4-6) 对 y 轴惯性矩 (4 -7a ) 同理，对 z 轴惯性矩 (4-7b) 图 4-3 由图 4-3 看到因此有 即 (4-8) 式 (
5、4 8) 阐明截面对任一对正交轴的惯性矩之和恒等于它对该两轴交点的极惯性矩。 在任一截面图形中 ( 图 4 3) ，取微面积 dA 与它的坐标 z 、 y 值的乘积，沿整个截面积分，定义此积分为截面图形对 y 、 z 轴的惯性积，简称惯积体现式为 (4-9) 惯性矩、极惯性矩与惯性积的量纲均为长度的四次方 I,I,I恒为正值而惯性积 I其值能为正，也许为负，也也许为零若选用的坐标系中，有一轴是截面的对称轴，则截面图形对此轴的惯性积必等于零 当截面图形对某一对正交坐标轴的惯性积等于零时，称此对坐标轴为截面图形的主惯性轴对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩而通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴 ( 或
6、称主形心惯轴 ) 截面对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩 ( 或称主形心惯矩 ) 例如，图 4-4 中若这对 yz 轴通过截面形心，则它们就是形心主惯性轴对这两个轴的惯性矩即为形心主惯性矩 图 4-4 工程应用中 ( 如压杆稳定中 ) ，有时将惯性矩表达到截面面积与某一长度平方的乘积，即 , 或写成 , （ 4-10 ） 式中 i分别称为截面图形对 y 轴、 z 轴的惯性半径其量纲为长度的一次方 例 4-2 已知矩形截面的尺寸 b,h( 图 4-5) ，试求它的形心主惯性矩 解：取形心主惯性轴 ( 即对称轴 )y,z ，及 dA=dy，代入公式 (I 7a ,) 得 同理： 图 4-5 例
7、 4-3 设圆的直径为 D( 图 4-6) ，试求图形对其形心轴的惯性矩及惯性半径值 解： (1) 求惯性矩 由于图形对称， y,z 为对称轴，因此 I I这是较简朴的解法本例也可取出图 4-6 上的微面积 dA ，按积分法来求得。 (2) 求惯性半径 图 4-6 第3节 惯性矩、惯性积的平行移轴公式4.3 惯性矩、惯性积的平行移轴公式 设任一截面图形 ( 图 4-7) 对其形心轴 Y,Z的惯性矩已知有另一对坐标轴 y, z 分别平行 y 轴。两平行轴间距分别为 a 、 b 现讨论截面对这两平行坐标轴的惯性矩之间的关系 根据定义截面对形心轴的惯性矩、惯性积分别为 , 同样，截面对 y, z 轴
8、的惯性矩、惯性积分别为 由图 4-7 可知， z=z+a ，代入 (b) 的第一式 由于 则上式简化为 同理 （ 4-11 ） 公式 (4-11) 称为惯性矩、惯性积的平行移轴公式即截面图形对某轴的惯性矩，等于它对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上两轴间距离的平方乘以截面面积，截面圆形对任一正交轴系的惯性积，等于它对与该轴系平行的形心轴系的惯性积，加上两坐标系轴间距的乘积再乘以截面面积式 (4 11) 中前二式恒为正，第三式中 a,b 均为代数值，故 I可正、可负或为零 图 4-7 组合截面图形的惯性矩和惯性积可用下面公式来计算 （ 4-12 ） 式中 I, , 分别表达每个简朴图形对自身形心轴
9、的惯性矩、惯性积 a分别表达每个简朴图形的形心坐标轴到组合图形 y,z 轴的距离 A表达各简朴图形的面积 例 4-4 已知截面图形尺寸如图 4-8 所示，试求图形对水平形心轴的惯性矩 I 解： (1) 将图形提成三个小矩形、 (2) 选参照轴在的形心上 (3) 由公式 ( I 5) 求形心 = = 124.89由于 z 是对称轴，故 (4) 由公式 ( I 12) 第一式计算 I= + 图 4-8 4.4 惯性矩，惯性积的转轴公式 设任一截面图形 ( 图 4-9) 对坐标轴 y ， z 轴的惯性矩、惯性积为 I。若将坐标轴 y ，z绕其原点 o 旋转一角 ( 以逆时针转为正，顺时针转为负，图
10、4-9 的 为正 ) ，得到新的坐标轴 y此时，图形对 y轴的惯性矩与惯性积为 I. 现研究 与 和 I之间的关系。 图 4-9 在图中任取一微面积 dA ，它在 yoz 坐标系的坐标为 (y,z) ，在 y坐标系的坐标为 (y) 由图有几何关系 （ a ） 按定义 （ b ） 将 (a) 式分别代入 (b) 式，运用三角函数关系 整顿后得到 （ 4-13 ） (4-13) 式即为惯性矩和惯性积的转轴公式它反映了惯性矩、惯性积随 a 而变化的规律将式 (1 13) 的前两式相加，可得 这阐明截面图形对正交轴系的惯性矩之和为一常数 目前我们来研究 (4-13) 的第三式 I随 a 而变化，当 =
11、0 时，相应的坐标轴为主惯性轴，用 y表达，即 (c) 由此求得 (4-14) 上式中的和表达了主轴的方位角 将关系式 (4-14) 代入转轴公式 (4-13) 第一、第二式，运算时运用三角函数关系 可以求得截面图形的主惯性矩 (4-15) 若将公式 (4-13) 的第一式对求一阶导数且令其为零，即可得到惯性矩的极值，即 可见，上式与 (c) 式一致这阐明由公式 (4-15) 求得的主惯性矩就是截面图形的最大或最小惯性矩 . 例 4-5 已知截面图形尺寸如图 4-10 所示。试求其形心主惯性矩 I. 图 4-10 解： (1) 拟定形心位置 由于截面是反对称的，因此形心在其对称中心 C 点。以 C 点为原点，取坐标轴 y ， z 如图所示 (2) 将截面提成三个小矩形、。 (3) 由式 (4-12) 计算惯性矩、惯性积 I= =1.84 4) 由式 (4-14) 拟定形心主轴的方位 由于 , 因此图形对绝对值较小的所拟定的形心主轴的惯性矩为最大值，另一轴的惯性矩为最小值如图 4-10 所示的图形，对 y0轴的形心主惯性矩为最大值，对 z0轴的形心主惯性矩为最小值。 (5) 由公式 (4-15) 计算形心主惯性矩 = =3.46 窗体顶端窗体底端u
